  |
|
| ° Forum ° Odpowiedz ° Rejestracja ° Szukaj ° | |
| samochody ciężarowe ° Auto giełda ° Sprzedam motocykle ° |
|
|
| ° Forum ° Odpowiedz ° Rejestracja ° Szukaj ° | |
| samochody ciężarowe ° Auto giełda ° Sprzedam motocykle ° |
 |
Matma / Co? z analizy funkcjonalnej |
| Autor | Wiadomość |
| Andrzej Dabrowski
|
Posted: 25 Lut 2000 06:51:16 Michał, chyba nie do końca się zrozumieliśmy. Po pierwsze poprawiam swój błąd - chodzi mi oczywiście o przekształcenia liniowe ciągłe, więc i ograniczone. Z towjego rozumowania dot. problemu 1 nie wynika, że przy normie określonej wzorem ||x||_2 = ||g^{-1}(x)|| automorfizm g staje się izometrią przestrzeni (X, ||.||_2) na siebie (!). Co więcej, łatwo jest pokazać, że jeśli g jest izometrią przy normie ||.||_2, to jest też izometrią przy normie wyjściowej i odwrotnie. Jeśli chodzi o problem 2, to ja wiem, że grupa izometrii spełnia wymienione przeze mnie warunki (traktowałem je jako powszechnie znane fakty). Chodzi mi o dalszą część przedstawioną w problemie, tj. czy można tak równoważnie zmienić normę wyjściową, by dowolna (oczywiście domknięta i symetryczna) podgrupa grupy wszystkich izometrii liniowych w wyjściowej normie była równa (lub izomorficzna) grupie wszystkich (!) izometrii liniowych w nowej normie. To chyba tyle. Pozdrawiam Andrzej On Wed, 23 Feb 2000 08:28:06 +0100, "Andrzej Dabrowski"
Problem 1:
niech (X, ||.||) będzie przestrzenią Banacha. Załóżmy, że g jest automorfizmem przestrzeni X. Czy wówczas istnieje norma równoważna względem normy ||.||, przy której g jest izometrią liniową przestrzeni X na siebie?
Jeżeli g jest ograniczony, to tak, jeśli nie, to nie. Skoro g ma być izometrią, to mamy ||g(x)||_2=||x||. Z liniowości g wynika, że jest to norma. Mamy zatem ||x||_2=||g^{-1}(x)||, a stąd ||x||_2<=||g^{-1}|| ||x|| Z twierdzenia o operatorze odwrotnym wiemy, że||g^{-1}||<infty Teraz w drugą stronę: ||x||_2=||g^{-1}(x)||=||x|| ||g^{-1}(x)||/||x||=||x|| inf(||g^{-1}(x)||/||x||)=||x||* *1/sup(||x||/||g^{-1}(x)||)=||x|| 1/sup(||g(x)||/||x||)=||x|| 1/||g|| inf i sup jest po czałej przestrzeni, z wyjątkiem 0. Ostatecznie mamy ||x||/||g||<=||x||_2<=||g^{-1}|| ||x|| Jest to warunek konieczny i wystarczający, aby normy były równoważne. Problem 2
niech (X, ||.||) będzie jw. i niech is(X, ||.||) oznacza grupę izometrii liniowych przestrzeni (X, ||.||) na siebie (oczywiście z działaniem składania przekształceń). Wówczas grupa is spełnia następujące warunki: 1) is jest domkniętym podzbiorem sfery jednostkowej przestrzeni endomorfizmów End(X, ||.||) ze zwykłą normą operatorową, Mam nadzieję, że zawieranie w sferze jest oczywiste. Weźmy ciąg izometrii (A_n), zbieżny do A. Trzeba pokazać, że A jest izometrią. Dla dowolnego d0 instnieje takie N, że dla dowolnego nN zachodzi: ||A-A_n||<d Dla dowolnego x eq 0 d||x|| ||A-A_n||/||x||=||Ax-A_nx||/||x|| =1/||x|| | ||Ax|| - ||A_nx|| |=| ||Ax||/||x|| - 1| --- bo A_n jest izometrią Rozpisując moduł dostajemy: -d ||Ax||/||x|| -1<d 1-d||Ax||/||x||<1+d Z dowolności d wynika, że ||Ax||=||x|| c.n.d. 2) is jest zbiorem symetrycznym względem elementu zerowego, tj. jeśli g
należy do is, to -g należy do is. Nie wymaga chyba komentarza. -- Michał Wasiak |
| Michał Wasiak
|
Posted: 25 Lut 2000 11:49:15 On Fri, 25 Feb 2000 07:51:16 +0100, "Andrzej Dabrowski" Michał,
chyba nie do końca się zrozumieliśmy. Po pierwsze poprawiam swój błąd - chodzi mi oczywiście o przekształcenia liniowe ciągłe, więc i ograniczone. Z towjego rozumowania dot. problemu 1 nie wynika, że przy normie określonej wzorem ||x||_2 = ||g^{-1}(x)|| automorfizm g staje się izometrią przestrzeni (X, ||.||_2) na siebie (!). Co więcej, łatwo jest pokazać, że jeśli g jest izometrią przy normie ||.||_2, to jest też izometrią przy normie wyjściowej i odwrotnie. Chyba nadal nie rozumiem. Weż g(x)=2x. Jest to automorfizm ograniczony, ale nigdy nie będzie izometrią (X,||.||) na (X,||.||). Przedstaw problem dokładnie. |