  |
|
| ° Forum ° Odpowiedz ° Rejestracja ° Szukaj ° | |
| samochody ciężarowe ° Auto giełda ° Sprzedam motocykle ° |
|
|
| ° Forum ° Odpowiedz ° Rejestracja ° Szukaj ° | |
| samochody ciężarowe ° Auto giełda ° Sprzedam motocykle ° |
 |
Matma / Coś z analizy funkcjonalnej |
| Autor | Wiadomość |
| Andrzej Dabrowski
|
Posted: 23 Lut 2000 07:28:06 Problem 1: niech (X, ||.||) będzie przestrzenią Banacha. Załóżmy, że g jest automorfizmem przestrzeni X. Czy wówczas istnieje norma równoważna względem normy ||.||, przy której g jest izometrią liniową przestrzeni X na siebie? Problem 2 niech (X, ||.||) będzie jw. i niech is(X, ||.||) oznacza grupę izometrii liniowych przestrzeni (X, ||.||) na siebie (oczywiście z działaniem składania przekształceń). Wówczas grupa is spełnia następujące warunki: 1) is jest domkniętym podzbiorem sfery jednostkowej przestrzeni endomorfizmów End(X, ||.||) ze zwykłą normą operatorową, 2) is jest zbiorem symetrycznym względem elementu zerowego, tj. jeśli g należy do is, to -g należy do is. Załóżmy teraz, że G jest domniętą podgrupą grupy is, symetryczną względem elementu zerowego. Czy wówczas istnieje na przestrzeni X norma równoważna (powiedzmy ||.||_1) taka, że: is(X, ||.||_1) = G, gdzie znak równości może oznaczać równość zbiorów, jak i izomorfizm grup. Uwaga: wiem, że chyba w 1986 r. ww. problem został udowodniony dla przypadku trywialnej podgrupy G, tj. gdy G = {id, -id}. Jeśli któryś z grupowicvzów zetknął się z powyższymi problemami proszę o kontakt. Andrzej Dąbrowski |
| Włodzimierz Holsztyński
|
Posted: 26 Lut 2000 21:34:38 Problem 1:
niech (X, ||.||) będzie przestrzenią Banacha. Załóżmy, że g jest automorfizmem przestrzeni X. . Czy wówczas istnieje norma równoważna względem normy ||.||, przy której g jest izometrią
liniową przestrzeni X na siebie? Michał Wasiak już wspomniał, ze g(x) := 2*x nie może być izometrią przy żadnej normie. Warunek dostateczny na to, zeby zbiór automorfizmów liniowych przestrzeni Banacha mógł być podzbiorem izometrii przy pewnej równoważnej normie zostal sformułowany przez Bourbakiego: wystarczy, żeby domknięcie grupy generowanej przez te automorfizmy było zwarte. Wtedy wyjściową normę uśredniamy po mierze Haara w grupie transformacji. Problem 2
Ciekawy! W euklidesowym R^2 tak. A w R^n ? Andrzej Dąbrowski
|
| Włodzimierz Holsztyński
|
Posted: 26 Lut 2000 21:44:40 Problem 2 Ciekawy! W euklidesowym R^2 tak. A w R^n ? Andrzej Dąbrowski -- Włodek Co tez ja plotę! Już w R^2 tak nie jest. Grupa wszystkich symetrii kwadratu (lub ogolniej 2n-kąta foremnego, n1) zawiera grupę cykliczną wszystkich obrotów tegoż 2n-kąta. Gdy grupa takich obrotów jest grupą izometrii względem pewnej normy, to cała grupa symetrii 2n-kąta staje się grupą symetrii. |