  |
|
| ° Forum ° Odpowiedz ° Rejestracja ° Szukaj ° | |
| samochody ciężarowe ° Auto giełda ° Sprzedam motocykle ° |
|
|
| ° Forum ° Odpowiedz ° Rejestracja ° Szukaj ° | |
| samochody ciężarowe ° Auto giełda ° Sprzedam motocykle ° |
 |
Matma / Stare zadanie z potegami |
| Autor | Wiadomość |
| Marek Szyjewski
|
Posted: 21 Lut 2000 17:20:27 Nie pamietam, kto zadał następujące pytanie: Niech x i y będą liczbami naturalnymi takimi, że x^y^x=y^x^y. Czy wtedy x =y ? Oczywiście równość x^y^x=y^x^y odczytuję jako x^(y^x)=y^(x^y) - alternatywne odczytanie daje trywialne zagadnienie. Oczywicie z równości x^t = y^u wynika, że x i y mają te same dzielniki pierwsze, być może występujące z różnymi wykładnikami w rozkładzie na czynniki pierwsze. No i wartoci 1, 2 liczb x, y nie wchodzą w grę, jeśli ma być (na przykład) xy. Załóżmy, że xy1. W takim razie jeli x^t = y^u, to t<u. Czyli x y y^x < x^y, albo - po oczywistych przekształceniach - x y x*ln(y) < y*ln(x), x y x/ln(x) < y/ln(y). Łatwo sprawdzić, że funkcja f(x) = x/ln(x) jest malejąca w przedziale 1<x<e i rosnąca w przedziale xe. Zatem powyższe dwie nierówności oznaczajś, że y < e. Ale wiemy, że y 2. Ten sam trick (sprowadzenie do porównywania wartości jednej funkcji) zdaje również egzamin w przypadku pyatania co jest większe: e^pi czy (pi)^e ? Swoją drogą z definicji metoda to trick, który przydaje się co najmniej dwa razy... Z powazaniem Marek Szyjewski My, samotnicy, powinnismy trzymac sie razem! |
| Bartek Knapik
|
Posted: 22 Lut 2000 21:03:52 Nie pamietam, kto zadał następujące pytanie:
ja |