  |
|
| ° Forum ° Odpowiedz ° Rejestracja ° Szukaj ° | |
| samochody ciężarowe ° Auto giełda ° Sprzedam motocykle ° |
|
|
| ° Forum ° Odpowiedz ° Rejestracja ° Szukaj ° | |
| samochody ciężarowe ° Auto giełda ° Sprzedam motocykle ° |
 |
Matma / Równanie z trzema niewiadomymi |
| Autor | Wiadomość |
| KrzS
|
Posted: 19 Lut 2000 21:38:45 Witam! Mam problem z równaniem z 3 niewiadomymi (x, y, z są liczbami naturalnymi dodatnimi): x + y + z = 1/4 * xyz Czy ktoś ma jakiś pomysł na rozwiązanie tego? -- KrzS ICQ: 9938187 |
| Wojciech Moczydlowski, Jr
|
Posted: 19 Lut 2000 22:11:13 Dans septieme jour KrzS a ecrit: Witam!
Mam problem z równaniem z 3 niewiadomymi (x, y, z są liczbami naturalnymi dodatnimi): x + y + z = 1/4 * xyz Czy ktoś ma jakiś pomysł na rozwiązanie tego? KrzS 2, 4, 6. http://www2.ids.pl/~khaliff "We were just a couple of crazy kids on a highway to nowhere." |
| Maciupa
|
Posted: 20 Lut 2000 15:31:32 Zrobilem to w pamieci : x=2 y=4 z=6 ale nie wiem czy to jest jedna z mozliwosci ... Tylko tyle moge zrobic . Pozdrawia Maciej |
| Walter Rusin
|
Posted: 20 Lut 2000 19:09:31 O ile dobrze pamiętam, to jest to któreś z koronnych zadań olimpijskich i w zbiorze pt: "koło matematyczne w szkole średniej" sir Pawłowskiego z Torunia jest co najmniej kilka rozwiązań podobnych równań... Zerknij na nie ! Walter Rusin |
| Wojciech Kluba
|
Posted: 22 Lut 2000 07:23:56 Mam problem z równaniem z 3 niewiadomymi (x, y, z sa liczbami naturalnymi
dodatnimi): x + y + z = 1/4 * xyz Na poczatku mozemy zalozyc, ze: x<=y<=z Podstawiamy za x=1 i otrzymujemy: 4(1+y+z)=yz 4+4y+4z=yz po przeksztalceniach: (y-4)(z-4)=20 20=1*20=2*10=4*5 A wiec otrzymujemy trojki: (1,5,24) (1,6,14) (1,8,9) Dla x=2 otrzymujemy: 2+y+z=1/2 *y*z 4*2y*2z = yz po przeksztalceniach: (y-2)(z-2)=8 8=1*8=2*4 A wiec otrzymujemy trojki: (2,3,10) (2,4,6) Dla x=3 otrzymujemy: 3+y+z=3/4 *y*z Mnożymy obie strony *12 i otrzymujemy: 36+12y+12z = 9yz 36+12y+12z-9yz=0 3y(4-3z)+4*3z-4*4+52=0 3y(4-3z)+4(3z-4)= -52 (3y-4)(3z-4) = 52 52 = 1*52 = 2*26 = 4*13 Otrzymujemy: 3y = 5 i 3z = 56 (odpada) 3y = 6 i 3z = 30 ( y=2<3=x, przyjelismy x<y) 3y = 8 i 3z = 17 (odpada) Dla x=4 otrzymujemy: x+y+z= 1/4 * xyz Dzielimy obie strony przez xyz: 1/(yz)+1/(xz)+1/(xy) = 1/4 1/(yz) <= 1/(x*x) <= 1/16 1/(xz) <= 1/(x*x) <= 1/16 1/(xy) <= 1/(x*x) <= 1/16 Czyli: 1/(yz)+1/(xz)+1/(xy) <= 3/16 < 4/16 = 1/4 Otrzymujemy uporzadkowane trojki: (1,5,24) (1,6,14) (1,8,9) (2,3,10) (2,4,6) Na koniec rozpatrujemy wszystkie permutacje liczb w tych trojkach. Pozdrowienia Wojtek P.S. (1+1/x)(1+1/y)(1+1/z)=2, gdzie x,y,z sa naturalne |
| Marek Szyjewski
|
Posted: 22 Lut 2000 13:08:42 On Tue, 22 Feb 2000 08:23:56 +0100, "Wojciech Kluba" Mam problem z równaniem z 3 niewiadomymi (x, y, z sa liczbami naturalnymi
dodatnimi): x + y + z = 1/4 * xyz Na poczatku mozemy zalozyc, ze: x<=y<=z Podstawiamy za x=1 i otrzymujemy: 4(1+y+z)=yz 4+4y+4z=yz po przeksztalceniach: (y-4)(z-4)=20 20=1*20=2*10=4*5 A wiec otrzymujemy trojki: (1,5,24) (1,6,14) (1,8,9) [ciach] Otrzymujemy uporzadkowane trojki: (1,5,24) (1,6,14) (1,8,9) (2,3,10) (2,4,6) Na koniec rozpatrujemy wszystkie permutacje liczb w tych trojkach. Pozdrowienia Wojtek Mozna dodac, ze srednia arytmetyczna x,y,z musi byc miedzy x i z: x =< (x+y+z)/3 = xyz/12 =< z, wiec xy =< 12. Ponadto z = 4(x+y)/(xy-4), xy 4. Nierownosci x < 4 nie udalo mi sie uzyskac, ale juz xy < 13 redukuje sprawe do zbadania 19 przypadkow mozliwych x i y; xy 4 ogranicza liczbe przypadkow do 14. Z powazaniem Marek Szyjewski My, samotnicy, powinnismy trzymac sie razem! |