4 proste twierdzenia - jak udowodnić?

Matma / 4 proste twierdzenia - jak udowodnić?

Autor	Wiadomość
KrzS	Posted: 16 Lut 2000 23:05:57 Witam! Mam tutaj 4 proste twierdzonka, które dla mnie są logiczne, ale potrzebuję je udowodnić, no i nie wiem jak: 1. Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła w <a,b, f(a) < f(b) oraz liczba q należy do (f(a),f(b)), to istnieje co najmniej 1 taki punkt c należący do (a,b), że f(c)=q. 2. Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła w <a,b to jest w nim ograniczona i istnieją w tym przedziale takie 2 punkty c1 i c2, że f(c1) = inf <a,b f(x), f(c2) = sup <a,b f(x) 3. Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła w <a,b i f(a)f(b) < 0, to istnieje taki punkt x należący do (a,b), że f(c) = 0 4. lim przy x-x0 h[f(x)] = h[lim przy x-x0 f(x)] Jeśli ktoś mógłby mi pomóc byłbym bardzo wdzięczny. -- KrzS ICQ: 9938187
Krzysztof Parzyszek	Posted: 17 Lut 2000 04:32:30 1. Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła w <a,b, f(a) < f(b) oraz liczba q należy do (f(a),f(b)), to istnieje co najmniej 1 taki punkt c należący do (a,b), że f(c)=q. Załóżmy, że mamy q in (f(a), f(b)) takie, że nie istnieje punkt c in (a, b), dla którego f(c) = q. Zdefiniujmy zbiór X := { xin(a,b) \| f(x) q } oraz zbiór Y := { yin(a,b) \| f(x) < q } Z założenia wynika, że (a,b) = X cup Y. Z ciągłości f wynika, że X i Y są otwarte. Dostajemy więc, że przedział (a,b) jest sumą rozłączną dwóch otwartych pozdbiorów. Jest to sprzeczne z faktem, że przedział jest spójny. 2. Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła w <a,b to jest w nim ograniczona i istnieją w tym przedziale takie 2 punkty c1 i c2, że f(c1) = inf <a,b f(x), f(c2) = sup <a,b f(x) Załóżmy, że f nie jest ograniczona z góry (jeśli jest nieograniczona tylko z dołu, to bierzemy -f). Dla n in N, zdefiniujmy zbiory X_n := { xin[a,b] \| f(x) = n }. Z ciągłości f wynika, że wszystkie X_n są domknięte i niepuste. Co więcej, X_{n+1} zawiera się w X_n. Z każdego X_n wybierzmy dowolny element x_n. W tw. Bolzano- -Weierstrassa wynika, że ciąg x_n zawiera podciąg zbieżny x_n_k. (jako, że x_n jest ograniczony). Ponieważ wszystkie x_n_k należą do przedziału domkniętego [a,b], więc granica g := lim x_n_k też należy do [a,b] (własność zbiorów domkniętych). Rozpatrzmy teraz wartości funkcji f(x_n_k). Wiemy, że f(x_n_k) = n_k dla każdego k, zatem f(x_n_k) -- infty. Jednocześnie f(g) jest dobrze określoną liczbą, jako że należy do dziedziny f (tzn. do [a,b]). Dostaliśmy więc, że f(lim x_n_k) nie jest równe lim f(x_n_k), czyli f nie jest ciągła wbrew założeniu. Istnienia punktów c1 i c2 można dowieść w podobny sposób. 3. Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła w <a,b i f(a)f(b) < 0, to istnieje taki punkt x należący do (a,b), że f(c) = 0 Oczywisty wniosek z 1. Albo f(a)<0 i f(b)0, albo odwrotnie. W każdym przypadku musi istnieć cin(a,b) takie, że f(c) = 0. Uwaga: c nie może być końcem przedziału, bo wówczas mielibyśmy f(a)f(b) = 0. 4. lim przy x-x0 h[f(x)] = h[lim przy x-x0 f(x)] O ile f i h są ciągłe, to jest prosty wniosek z definicji ciągłości: Weźmy dowolny ciąg x_n z dziedziny złożenia h(f(x)), zbieżny do x_0. Zdefiniujmy y_n := f(x_n) i y_0 := f(x_0). Ponieważ f jest ciągła, zaś x_n -- x_0, więc f(x_n) -- f(x_0), czyli y_n -- y_0. Wiemy również, że h jest ciągła, więc dla zbieżnego ciągu y_n, mamy h(y_n) -- h(y_0). Przepisując ostatnie wyrażenie w innej postaci dostajemy lim x_n-x_0 h[f(x_n)] = h[f(lim x_n)] = h[lim x_n-x_0 f(x_n)]. Ostatnia równość wynika z ciągłości f. Pozdrawiam, --KP
Adam12	Posted: 24 Lut 2000 08:31:35 3. Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła w <a,b i f(a)f(b) < 0, to istnieje taki punkt x należący do (a,b), że f(c) = 0 Zakładam, że f(a)0 i f(b)<0 (przypadek odwrotny jest analogiczny). Ponieważ f jest ciągła na przedziale <a,b więc posiada wł Darboux. Ponieważ f(a)<0 i f(b)0 więc f(a) < f(b). Weźmy y0=0 f(a)<y0<f(b) z wł. Darboux istnieje takie punkt x0, że f(x0)=y0=0. Adam Chabin


° Forum ° Odpowiedz ° Rejestracja ° Szukaj °