  |
|
| ° Forum ° Odpowiedz ° Rejestracja ° Szukaj ° | |
| samochody ciężarowe ° Auto giełda ° Sprzedam motocykle ° |
|
|
| ° Forum ° Odpowiedz ° Rejestracja ° Szukaj ° | |
| samochody ciężarowe ° Auto giełda ° Sprzedam motocykle ° |
 |
Matma / Zadanie maturalne |
| << . 1 . 2 . 3 . 4 . >> |
| Autor | Wiadomość |
| Krzysztof Parzyszek
|
Posted: 6 Mar 2001 03:34:28 Udowodnij sie (pierwiastek z 2 )jest liczba niewymierna.
Niech pierwiastek z 2 bedzie postaci p/q, gdzie: p i q calkowite, q rozne od 0, NWD(p,q) = 1. Podniesmy rownosc do kwadratu i pomnozmy przez q^2; otrzymamy rownosc p^2 = 2 q^2. Jesli q nieparzyste, to [...] Mozna tez tak: jesli mamy p^2 = 2q^2 to znaczy, ze w rozkladzie liczby p^2 na czynniki pierwsze wystepuje 2. Poniewaz p jest liczba calkowita, kazdy czynnik pierwszy w rozkladzie p^2 wystepuje parzysta ilosc razy. Zatem, p^2 jest podzielne przez 4, co znaczy, ze q^2 jest parzyste. Podobnie dochodzimy do wniosku, ze q^2 jest podzielne przez 4. Sprzecznosc z zalozeniem, ze NWD(p,q) = 1. |
| Maciek
|
Posted: 6 Mar 2001 09:08:47 Czesc !!!
W tym roku bede zdawac mature.Wlasnie przed chwilka otworzylam ksiazke z zadaniami do matury ustnej i niestety juz pierwsze zadanko sprawilo mi trudnosc nimy banalne a jednak nie umiem go zrobic.Oto jego tresc. Zad Udowodnij sie (pierwiastek z 2 )jest liczba niewymierna. Przypuscmy, ze sqrt(2) jest wymierne. Innymi slowy istnieja dwie liczby naturalne a,b takie, ze: a = b sqrt(2) Oczywiscie b < a < 2b. Narysuj prostokat o wymiarach a,b. Odetnij od niego kwadrat o boku b. Pozostaje prostokat o wymiarach b,c. Poniewaz: c = a - b to c jest rowniez liczba naturalna, i przy tym 0 < c < b. Stosunek dlugosci bokow tego pozostalego paska wynosi: q = b/c = b/(a-b) = b(a+b)/(a^2 - b^2) = b(a+b)/(2 b^2 - b^2) = b(a+b)/b^2 = (a+b)/b = 1 + sqrt(2) Zbudujmy teraz nowy prostokat nastepujaco: skladamy dwa kwadraty o boku b, i doklejamy jeszcze ten pozostaly w poprzednim kroku pasek o szerokosci c. Otrzymujemy prostokat o bokach (2b+c) i b. Stosunek ich dlugosci wynosi: (2b + c)/b = ((b+c)+b)/b = (a+b)/b = q Z tej konstrukcji wynikaja dwa proste wnioski: - jezeli mamy dany prostokat o stosunku bokow q = 1 + sqrt(2), to odcinajac od niego dwa kwadraty otrzymujemy mniejszy prostokat o tym samym stosunku bokow: (2b+c)/b = q = b/c; - jezeli dany prostokat ma boki o dlugosciach calkowitych to prostokat wynikowy takze. Stosujac indukcyjnie te dwa stwierdzenia dochodzimy do konstrukcji nieskonczonego malejacego ciagu liczb naturalnych. Ale wiemy, ze taki ciag nie istnieje - a zatem falszem jest, jakoby istnial prostokat, ktorego boki maja dlugosci wyrazone liczbami naturalnymi o stosunku sqrt(2). Inaczej: nie istnieja takie liczby naturalne a,b, ze a = b sqrt(2) Czyli: liczba sqrt(2) nie jest wymierna. Maciek |
| Przemyslaw Kwiatkowski
|
Posted: 6 Mar 2001 16:38:25 Hej Maciej! Odpowiedź na list z dnia Monday, March 05, 2001, 11:39:39 PM: Niech pierwiastek z 2 bedzie postaci p/q, gdzie: p i q calkowite, q
rozne od 0, NWD(p,q) = 1. Podniesmy rownosc do kwadratu i pomnozmy przez q^2; otrzymamy rownosc p^2 = 2 q^2. Jesli q nieparzyste, to p^2 dzieli sie przez 2, a nie dzieli sie przez cztery - w liczbach calkowitych tak sie nie zdarza. Jesli q parzyste, to NWD(p,q) = 2. A mi się bardziej podoba takie rozwiązanie: zał. sqrt(2) - wymierne, zatem sqrt(2)=p/q (p,q - naturalne). Czyli: 2q^2 = p^2 Lewa strona tego równania zawiera nieparzystą ilość czynników pierwszych 2, a prawa - parzystą ilość dwójek, co jest sprzeczne z zasadą jednoznaczności rozkładu na czynniki pierwsze. To rozumowanie nawet nie wymaga założenia, że NWD(p,q) = 1 :-) |
| Dawid Murgała
|
Posted: 2 Kwi 2001 14:13:57 Witam Chciałbym się dowiedzieć jak rozumiecie takie zadanie maturalne (mat. próbna), które było w kujawsko-pomorskim: Ze zbioru uporządkowanych trójek, które są rozwiązaniem równania x1+x2+x3=6, losujemy 2 razy ze zwracaniem 1 taka trojke. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród wylosowanych trójek nie ma 0. Zadanie to zaliczano w trzech wersjach. Chciałbym się dowiedzieć jaka jest najbardziej poprawna...tzn. chodzi o wyrażenie " zbiór uporządkowanych trójek", jak to rozumiecie, jak wygląda ten zbiór. Nie wiem jaki jest sens układania takich zadań, w których treść jest niejednoznaczna, a rozwiązanie banalne. Pozdrawiam Dawid Murgała |
| elwis
|
Posted: 2 Kwi 2001 16:11:34 zbiór uporzadkowanych trojek to inaczej mozna potraktowac jako ciag, chodzi o to ze wazna jest kolejnosc wyrazow np. (1,2,3) to jusz inny zbior trojek uporzadkowanych niz (1,3,2) a zadanie rzeczywisce banalne P=10/28... |
| Maciej Bojko
|
Posted: 2 Kwi 2001 17:48:44 Chciałbym się dowiedzieć jak rozumiecie takie zadanie maturalne (mat.
próbna), które było w kujawsko-pomorskim: Ze zbioru uporządkowanych trójek, które są rozwiązaniem równania
x1+x2+x3=6, losujemy 2 razy ze zwracaniem 1 taka trojke. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród wylosowanych trójek nie ma 0. Prawdopodobienstwo jest rowne 1. O ile nie sa to np. trojki liczb calkowitych, ale nie widze nigdzie takiego zalozenia. Maciej Bójko |
| mccartney
|
Posted: 2 Kwi 2001 20:56:52 Zadanie to zaliczano w trzech wersjach. Chciałbym się dowiedzieć jaka jest
najbardziej poprawna...tzn. chodzi o wyrażenie " zbiór uporządkowanych trójek", jak to rozumiecie, jak wygląda ten zbiór. wydaje mi się, że to, czy trójki są uporządkowane, czy nie, nie wpływa na wynik, co najwyżej na terminy używane w czasie rozwiązania, ponieważ i tak nie rozpatrujemy miejsca (pierwszego, drugiego czy trzeciego) na którym wylosowało się zero. Nie wiem jaki jest sens układania takich zadań, w których treść jest
niejednoznaczna, a rozwiązanie banalne. rzeczywiscie, własnie głównie na maturach (za miesiąc zdaję maturę) autorzy zadań znajdują sobie pole do popisu: jak tu napisać zadanie, by częsc uczniów przeczytała nie tak, jak bym chciał, Pozdrawiam
również pozdrawiam Dawid Murgała
mccartney |
| << . 1 . 2 . 3 . 4 . >> |