Nieskończenie wiele liczb pierwszych - poprawność dowodu

Matma / Nieskończenie wiele liczb pierwszych - poprawność dowodu

Autor	Wiadomość
ffast	Posted: 20 Lip 2008 18:11:57 Cześć, http://www.math.us.edu.pl/~pgladki/faq/node48.html. Przy trzecim dowodzie mamy następujący tekst: "Korzystając ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego o ilorazie 1/p_i: suma(a_i=0 do +inf) 1/(p_i^a_i)=(1-1/p_i)^(-1)". Być może czegoś tu nie widzę, ale moim zdaniem jest tu błąd. Nieskończony szereg geometryczny jest to szereg postaci: a_1(1+q+q^2+...q^n+...), a_1, q !=0 tu natomiast q nie jest ustalone, gdyż nasze p jest zależne od indeksu i. Czy czegoś nie rozumiem? Z góry dzięki.
argothiel	Posted: 21 Lip 2008 23:07:18 "suma(a_i=0 do +inf) 1/(p_i^a_i)=(1-1/p_i)^(-1)". Być może czegoś tu nie widzę, ale moim zdaniem jest tu błąd. Nieskończony szereg geometryczny jest to szereg postaci: a_1(1+q+q^2+...q^n+...), a_1, q !=0 tu natomiast q nie jest ustalone, gdyż nasze p jest zależne od indeksu i. Dla każdego i mamy inny szereg geometryczny. I dla każdego i mamy q ustalone (równe 1/p_i). Czy czegoś nie rozumiem? Z góry dzięki. Pozdrawiam, argothiel
Wlodzimierz Holsztynski	Posted: 24 Lip 2008 22:26:27 http://www.math.us.edu.pl/~pgladki/faq/node48.html. [...] tekst: "Korzystając ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego [...]" Czy czegoś nie rozumiem? Nic dziwnego, że Cię autor nieszczęsnego faqu zmylił. W danym wypadku wychodzi ze skóry, żeby napisać ściśle, a że nie ma słuchu do matmy, to mu tak to wyszło. Formalnie jest poprawnie, tylko oznaczenia niepotrzebnie przekompplikowane z powodu zbędnych indeksów. Napiszę to samo na 5 sposobów, od mojego prostego do "gładkiego" :-), to zobaczysz. Skorzystamy ze wzoru na sumę nieskończonego postępu geometrycznego: (1-x)^(-1) = 1 + x + x^2 + ... dla \|x\| < 1 czyli (1-1/y)^(-1) = 1 + 1/y + 1/y^2 + ... dla \|y\| 1 Poza tym, na etapie twierdzenia Eulera, czytelnik powinien już wiedzieć, że dla skończonego szeregu harmonicznego: H(n) := 1/1 + 1/2 + ... + 1/n i dla logarytmu naturalnego zachodzi nierówność: 1 + log(n) H(n) log(n+1) Nie jest to absolutnie konieczne, ale pozwala zaostrzyć rozumowanie typu Eulera (który z takich rzeczy, i z bardziej zaawansowanych, zdawał sobie sprawę), a przede wszystkim daje to konkretność. **************************** 1. Niech Q będzie podzbiorem skończonym zbioru P wszystkich liczb pierwszych. Zdefiniujmy: L(Q) := Prod (1-1/p)^(-1) : p in Q) = Prod (Sum(1 + 1/p + 1/p^2 + ...) : p in Q) = Sum( 1/k : k in N_Q) gdzie N_Q jest zbiorem wszystkich liczb naturalnych k, których jedynymi dzielnikami pierwszymi są liczby z Q, a super-ściśle mówiąc, które nie mają dzielników pierwszych spoza Q. Więc 1 in N_Q. Niech n := floor(exp(L(Q)) Dla sumy skończonego szeregu harmonicznego mamy: Sum( 1/k : k = 1...n) log(n+1) L(Q) Zatem w szeregu po lewej musi wystąpić 1/k, które nie wystpiło po prawej w L(Q). Oznacza to, że takie k nie rozkłada się na liczby pierwsze ze zbioru Q. Więc dzielnik pierwszy q liczby k nie należy do Q. Udwowodniliśmy, sposobem Eulera, że żaden skończonony zbiór liczby pierwszych Q nie wyczerpuje zbioru wszystkich liczb pierwszych. Więc ten ostatni musi być nieskończony. ************************* Sposoby 2 - 5: NIEEEE chce mi się. Nie lubię gładkiego paprania. Pozdrawiam, Wlodek PS. Ani w głądkim faqu, ani powyżej, nie ma dowodu równości: Prod (Sum(1 + 1/p + 1/p^2 + ...) : p in Q) = Sum( 1/k : k in N_Q) która, w świetle jednoznaczności rozkładu liczb naturalnych na iloczyn liczb pierwszych, jest oczywista. Pedantyczny dowód może, wręcz musi korzystać z indukcji. W "gładkim" zapisie byłby taki dowód nie do strawienia, bździłby się w oczach. Korzystając z powyższej notacji, byłby lekki, tyle, że nudny, jak to z oczywistościami bywa. wh.
Wlodzimierz Holsztynski	Posted: 25 Lip 2008 08:41:41 Cześć, http://www.math.us.edu.pl/~pgladki/faq/node48.html. [...] Przy okazji wspomnę, że w angielskiej wikipedii podają 4 dowody twierdzenia Eulera o tym, że suma odwrotności liczb pierwszych jest nieskończona: http://en.wikipedia.org/wiki/Proof_that_the_sum_of_the_reciprocals_of_the_primes_diverges#The_harmonic_series czyli http://tinyurl.com/p6hud W polskiej wikipedii jest tylko jeden dowód, mój (oczywiście główna idea należy do samego Eulera), za to elegancki: http://pl.wikipedia.org/wiki/Liczby_pierwsze#Szereg_odwrotno.C5.9Bci_wszystkich_liczb_pierwszych czyli http://tinyurl.com/2ar9ua ale kliknij na "5.1 Szereg odwrotności wszystkich liczb pierwszych" Pozdrawiam, Włodek


° Forum ° Odpowiedz ° Rejestracja ° Szukaj °