  |
|
| ° Forum ° Odpowiedz ° Rejestracja ° Szukaj ° | |
| samochody ciężarowe ° Auto giełda ° Sprzedam motocykle ° |
|
|
| ° Forum ° Odpowiedz ° Rejestracja ° Szukaj ° | |
| samochody ciężarowe ° Auto giełda ° Sprzedam motocykle ° |
 |
Matma / zadanko |
| << . 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 . 7 . 8 . 9 . >> |
| Autor | Wiadomość |
| Jakub Wroblewski
|
Posted: 19 Lip 2000 19:37:31 Witam, niech G bedzie zbiorem ciagow liczb naturalnych (bez zera, niekoniecznie
wszystkich ciagow) o tej wlasnosci, ze dla dowolnego ciagu liczb naturalnych a_n (niekoniecznie z G) istnieje w A ciag b_n taki, ze
lim(n do nies.) a_n/b_n = 0 (tzn. dla dowolnego elementu w N^N istnieje w A ciag szybciej rosnacy od niego) Trzeba pokazac, ze zbior A jest nieprzeliczalny. Czy dobrze sie domyslam, ze zbior A i G to to samo? Jesli nie, to nie zdefiniowales nigdzie A. Jesli tak, to: Ustawiamy ciagi z A w dowolnej kolejnosci. Niech a_ij - i-ty element ciagu o numerze j. Definiujemy ciag b: b_k := max_(i=1..k) { a_ki } - tzn. maksimum "nad przekatna". Ciag b jest pewnym ciagiem z N^N, wiec powinien rowniez spelniac warunki konstrukcji zbioru A, tzn. powinien byc w A jakis ciag c rosnacy szybciej. Tak jednak nie jest, bo zalozmy, ze ciag c stal na n-tej pozycji w kolejnosci uzytej do zdefiniowania b. Widzimy, ze z definicji b wszystkie elementy c poczynajac od n-tego spelniaja warunek b_k = c_k. Czyli w szczegolnosci c nie rosnie szybciej, niz b. Sprzecznosc. Pozdrawiam, Jakub Wroblewski P.S. Ladne zadanie. |
| Szymon Wąsowicz
|
Posted: 19 Lip 2000 20:53:42 Czesc,
mam zadanko ktore wydaje sie byc proste lecz nie moge go zrobic: niech G bedzie zbiorem ciagow liczb naturalnych (bez zera, niekoniecznie wszystkich ciagow) o tej wlasnosci, ze dla dowolnego ciagu liczb naturalnych a_n (niekoniecznie z G) istnieje w A ciag b_n taki, ze lim(n do nies.) a_n/b_n = 0 (tzn. dla dowolnego elementu w N^N istnieje w A ciag szybciej rosnacy od niego) Trzeba pokazac, ze zbior A jest nieprzeliczalny. pozdrawiam quba zbioru ciągów, który opisujesz. Zastanówmy się nad samą definicją G. Chodzi Ci o _jakiś_ zbiór o tej własności. Czy taki w ogóle istnieje? Np. N^N spełnia ten warunek. Chodzi o pokazanie czegoś takiego: jeśli pewien podzbiór G zbioru N^N ma "Twoją" własność, to jest nieprzeliczalny. Tutaj efekt daje standardowa metoda przekątniowa. Niech pewien podzbiór G zbioru N^N ma opisaną w zadaniu własność. Przypuśćmy, że G jest przeliczalny i wypiszmy wszystkie jego elementy w ciągu różnowartościowym {c_m : min N} (tj. każdy element zbioru G wypisujemy dokładnie jeden raz). Ale każde c_m jest ciągiem. Zapiszmy wyrazy ciągów c_m w postaci nieskończonej tablicy liczb naturalnych: c_11, c_12, c_13, ... c_21, c_22, c_23, ... c_31, c_32, c_33, ... ..................... ..................... ..................... Weźmy teraz ciąg przekątniowy {c_nn : nin N} i dodajmy do każdego jego wyrazu jedynkę: niech więc a_n = c_nn + 1, nin N. Chodzi o to, aby ciąg {a_n} nie należał do G. To żądanie jest spełnione, bo a_1<c_11, więc {a_n} nie może być "pierwszym" elementem z G. Podobnie a_2<c_22, więc {a_n} różni się od "drugiego" elementu z G, itd. A teraz sprawdzimy, że jednak {a_n}in G, co doprowadzi do sprzeczności. Z założenia dla ciągu {c_nn} można wybrać w G taki ciąg {b_n}, że c_nn/b_n -- 0. Ale c_nn/b_n <= (c_nn + 1)/b_n <= 2c_nn/b_n Ostatnia nierówność wynika stąd, że c_nnin N, więc c_nn=1. Oba ciągi "skrajne" zmierzają do zera, więc z twierdzenia o trzech ciągach wnioskujemy, że a_n/b_n = (c_nn + 1)/b_n też zmierza do zera. Zatem ciąg {b_n} jest też "dobry" dla {a_n}, co pokazuje, że {a_n}in G. -- Serdecznie pozdrawiam, Szymek |
| Szymon Wąsowicz
|
Posted: 19 Lip 2000 21:22:03 Czesc, mam zadanko ktore wydaje sie byc proste lecz nie moge go zrobic: niech G bedzie zbiorem ciagow liczb naturalnych (bez zera, niekoniecznie wszystkich ciagow) o tej wlasnosci, ze dla dowolnego ciagu liczb naturalnych a_n (niekoniecznie z G) istnieje w A ciag b_n taki, ze lim(n do nies.) a_n/b_n = 0 (tzn. dla dowolnego elementu w N^N istnieje w A ciag szybciej rosnacy od niego) Trzeba pokazac, ze zbior A jest nieprzeliczalny. pozdrawiam quba Poniższe rozwiązanie jest niedobre - szkoda, że zauważyłem to dopiero po wysłaniu :-( Kto chce, niech zobaczy, gdzie zrobiłem błąd. Na końcu listu jest jeszcze trochę samokrytyki - komentarza. Bardzo przepraszam. Ale na pocieszenie napiszę, że errare humanum est. zbioru ciągów, który opisujesz. Zastanówmy się nad samą definicją G. Chodzi Ci o _jakiś_ zbiór o tej własności. Czy taki w ogóle istnieje? Np. N^N spełnia ten warunek. Chodzi o pokazanie czegoś takiego: jeśli pewien podzbiór G zbioru N^N ma "Twoją" własność, to jest nieprzeliczalny. Tutaj efekt daje standardowa metoda przekątniowa. Niech pewien podzbiór G zbioru N^N ma opisaną w zadaniu własność. Przypuśćmy, że G jest przeliczalny i wypiszmy wszystkie jego elementy w ciągu różnowartościowym {c_m : min N} (tj. każdy element zbioru G wypisujemy dokładnie jeden raz). Ale każde c_m jest ciągiem. Zapiszmy wyrazy ciągów c_m w postaci nieskończonej tablicy liczb naturalnych: c_11, c_12, c_13, ... c_21, c_22, c_23, ... c_31, c_32, c_33, ... ..................... ..................... ..................... Weźmy teraz ciąg przekątniowy {c_nn : nin N} i dodajmy do każdego jego wyrazu jedynkę: niech więc a_n = c_nn + 1, nin N. Chodzi o to, aby ciąg {a_n} nie należał do G. To żądanie jest spełnione, bo a_1<c_11, więc {a_n} nie może być "pierwszym" elementem z G. Podobnie a_2<c_22, więc {a_n} różni się od "drugiego" elementu z G, itd. A teraz sprawdzimy, że jednak {a_n}in G, co doprowadzi do sprzeczności. Z założenia dla ciągu {c_nn} można wybrać w G taki ciąg {b_n}, że c_nn/b_n -- 0. Ale c_nn/b_n <= (c_nn + 1)/b_n <= 2c_nn/b_n Ostatnia nierówność wynika stąd, że c_nnin N, więc c_nn=1. Oba ciągi "skrajne" zmierzają do zera, więc z twierdzenia o trzech ciągach wnioskujemy, że a_n/b_n = (c_nn + 1)/b_n też zmierza do zera. Zatem ciąg {b_n} jest też "dobry" dla {a_n}, co pokazuje, że {a_n}in G. -- Serdecznie pozdrawiam, Szymek No, zagalopowałem się. Wszystko dobrze, aż do ostatniej linii, gdzie wyciągam nieuprawniony wniosek, że {a_n}in G. Korzystałbym tu z definicji G mówiącej, że {a_n}in G <= gdy... No właśnie, co gdy??? G jest "jakimś" zbiorem o opisanej własności. Najpierw przeprowadziłem rozumowanie, a potem napisałem wstawkę o definiowaniu zbioru G. I wpadłem we własne sidła. Zawiodły mechanizmy samokontroli. Korzystając z okazji powiem, że rozwiązanie Jakuba także korzysta z metody przekątniowej, ale poprawnie. -- Serdecznie pozdrawiam, Szymek |
| Darek Marcinkiewicz
|
Posted: 8 Paź 2000 17:40:24 jak udowodnic ze zbiory (0;1) i (0;1 okreslone na osi R sa rownoliczne TIA Darek Marcinkiewicz |
| Wojciech Moczydlowski, Jr
|
Posted: 8 Paź 2000 18:43:46 Dans septieme jour Darek Marcinkiewicz a ecrit: jak udowodnic ze zbiory (0;1) i (0;1 okreslone na osi R sa
rownoliczne TIA Darek Marcinkiewicz Id jest funkcja roznowartosciowa z (0, 1) w (0, 1]. f(x) = 2x, f : (0, 1) - (0, 2) ustala rownolicznosc (0, 1) z (0, 2). Id jest funkcja roznowartosciowa z (0, 1] w (0, 2). Zatem (0, 1) ma <= moc od (0, 1], a zarazem (0, 1] ma mniejsza moc od (0, 1), zatem sa rownoliczne. Khaliff TM "Kto wladze ma, najpierw o nia sie martwi." |
| ONY
|
Posted: 9 Paź 2000 08:39:26 jak udowodnic ze zbiory (0;1) i (0;1 okreslone na osi R sa rownoliczne sproboj wykorzystac pewna funkcje oparta na zbiorze {1/x: x jest liczba naturalna} mam nadzieje, ze ta wskazowka wystarczy:))) pozdrawiam Tomek |
| RDW
|
Posted: 12 Paź 2000 17:11:01 4^x-3(x-1/2)=3^(x+1/2)-2^(2x-1) Rozw. tego równania jest x=3/2 ale nie mam pojęcia jak do tego dojść. Czy ktoś ma jakiś pomysł. Z góry wlk dzięki. RDW PAblo |
| << . 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 . 7 . 8 . 9 . >> |