  |
|
| ° Forum ° Rejestracja ° Szukaj ° | |
| Auto giełda ° wnętrzowe stacje transformatowe |
 |
Matma / Kombinatoryka/prawdopodobienstwo - ciągi - problem |
| . 1 . 2 . >> |
| Autor | Wiadomość |
| Damian Sobota
|
Posted: 23 Kwi 2005 14:07:51 Hej wszystkim!! Przygotowujac sie do matury natrafilem na takie oto ciekawe zadanie: Ze zbioru wszystkich trojwyrazowych ciagow o wyrazach ze zbioru {1,2,3,...,n} losujemy jeden ciąg. Oblicz prawdopodobienstwo wylosowania ciagu rosnacego lub malejacego. Moc przestrzeni zdarzen elementarnych |Omega|=n^3, poniewaz najpierw musimy znalezc ilosc mozliwych ciagow, a rowna sie ona ilosci wariacji 3-elementowych n-elementowego zbioru, czyli V=n^3. Z tego losujemy jeden ciag, czyli kombinacja C(1,n^3)=n^3. Teraz musze znalezc zdarzenie A (tj. zdarzenie wylosowania ciagu mozliwych ciagow rosnacych, F_m - ilosc ciagow malejacych. No i tu sie zaczynaja schody :. W jaki sposob okreslic F_r lub F_m? W przypadku F_r wiem tylko, ze: (ciag jest postaci (a,b,c)) a <= n-2 b <= n-1 c <= n To jednoczesnie wymusza rozpisanie ilosci mozliwosci wylosowania danej liczby dla ciagu na cos takiego: a: n-2 mozliwosci b: n-1-a mozliwosci c: n-b mozliwosci Pisze n-1-a lub n-b, bo sa to liczby calkowite, wiec w momencie wylosowania okreslonej liczby odpada mi iles tam liczb mniejszych od niej lub jej rownych. Tylko jak obliczyc ile?! Ile jest mozliwosci wylosowania liczb b i c, tak zebym a<b<c? Pisze tylko dla F_r, bo z pewnoscia dla F_m bedzie trzeba zrobic to analogicznie. Z gory dziekuje za pomoc! |
| Łukasz Kalbarczyk
|
Posted: 23 Kwi 2005 16:14:55 Hej wszystkim!!
Przygotowujac sie do matury natrafilem na takie oto ciekawe zadanie: Ze zbioru wszystkich trojwyrazowych ciagow o wyrazach ze zbioru {1,2,3,...,n} losujemy jeden ciąg. Oblicz prawdopodobienstwo wylosowania ciagu rosnacego lub malejacego. Moc przestrzeni zdarzen elementarnych |Omega|=n^3, poniewaz najpierw musimy znalezc ilosc mozliwych ciagow, a rowna sie ona ilosci wariacji Liczbę. 3-elementowych n-elementowego zbioru, czyli V=n^3. Z tego losujemy
jeden ciag, czyli kombinacja C(1,n^3)=n^3. Ale teorii ;-) Nie wiem co to znaczy, że losujemy jeden cišg. Teraz musze znalezc zdarzenie A (tj. zdarzenie wylosowania ciagu
ilosc mozliwych ciagow rosnacych, F_m - ilosc ciagow malejacych. No i tu sie zaczynaja schody :. W jaki sposob okreslic F_r lub F_m? W przypadku F_r wiem tylko, ze: (ciag jest postaci (a,b,c)) a <= n-2 b <= n-1 c <= n OK. Ale to nic nie da, chyba że będziesz liczyć takie brzydkie sumy. To jednoczesnie wymusza rozpisanie ilosci mozliwosci wylosowania danej
liczby dla ciagu na cos takiego: a: n-2 mozliwosci b: n-1-a mozliwosci c: n-b mozliwosci Pisze n-1-a lub n-b, bo sa to liczby calkowite, wiec w momencie wylosowania okreslonej liczby odpada mi iles tam liczb mniejszych od niej lub jej rownych. Tylko jak obliczyc ile?! Ile jest mozliwosci wylosowania liczb b i c, tak zebym a<b<c? Pisze tylko dla F_r, bo z pewnoscia dla F_m bedzie trzeba zrobic to analogicznie. Spróbuj z innej strony: przypućmy, że wylosowałe już 3 liczby. Jakie jest prawdop., że tworzš one cišg cile monotoniczny? |
| Damian Sobota
|
Posted: 23 Kwi 2005 16:48:21 Spróbuj z innej strony:
przypućmy, że wylosowałe już 3 liczby. Jakie jest prawdop., że tworzš one cišg cile monotoniczny? P(c.s.m)=2/27 (c.s.m. - cišg cile monotoniczny) Wyjasnienie: Z trzech wylosowanych liczb mozna utworzyc 27 ciagow, ale tylko 2 z nich beda scisle monotoniczne (rosnace lub malejace). No ok, ale co z tego? Po co mi to? Dalej musze wiedziec na ile sposobow moge wybrac poszczegolna z liczb, zeby ciag byl scisle monotoniczny. Prosze o dalsze wskazowki! |
| Damian Sobota
|
Posted: 23 Kwi 2005 18:12:07 Teraz musze znalezc zdarzenie A (tj. zdarzenie wylosowania ciagu
ilosc mozliwych ciagow rosnacych, F_m - ilosc ciagow malejacych. No i tu sie zaczynaja schody :. W jaki sposob okreslic F_r lub F_m? W przypadku F_r wiem tylko, ze: (ciag jest postaci (a,b,c)) a <= n-2 b <= n-1 c <= n OK. Ale to nic nie da, chyba że będziesz liczyć takie brzydkie sumy. OK. Poszedlem jednak ta droga i okazala sie ona dosyc grzaska mimo wszystko :(. Doszedlem do momentu, ze wyznaczylem sume, ktora jest liczba ciagow scisle rosnacych: 2/2+6/2+10/2+20/2+30/2+...+(n-4)(n-3)/2+(n-3)(n-2)/2+(n-2)(n-1)/2= =(2+6+10+20+30+...+(n-4)(n-3)+(n-3)(n-2)+(n-2)(n-1))/2 Ale jak uogolnic ("zwinac") ta sume do bardziej jednolitego wzoru? Dwojke w mianowniku moge spokojnie opuscic, gdyz trzeba jeszcze policzyc dodatkowo liczbe ciagow scisle malejacych. Liczba ta bedzie sie rownala tej powyzszej, stad wzor na liczbe ciagow scisle malejacych i scisle rosnacych wyglada nastepujaco: 2 + 6 + 10 + 20 + 30 + ... + (n-4)(n-3) + (n-3)(n-2) + (n-2)(n-1) = ? Teraz wystarczy to zapisać w sposob jednolity. Jakies pomysly? Jezeli juz bede mial ten wzor, to wtedy prawdopodobienstwo wylosowania liczb, ktore utworza ciag scisle rosnacy lub scisle malejacy, bedzie obliczone (P(c.s.m)=|A|/n^3) Napisze jeszcze odpowiedz do powyzszego zadania, jest to: P(c.s.m)=(n-2)(n-1)/(3n^2) Jeszcze raz dzieki za pomoc! |
| Damian Sobota
|
Posted: 23 Kwi 2005 19:15:14 OK. Poszedlem jednak ta droga i okazala sie ona dosyc grzaska mimo
wszystko :(. Doszedlem do momentu, ze wyznaczylem sume, ktora jest liczba ciagow scisle rosnacych: 2/2+6/2+10/2+20/2+30/2+...+(n-4)(n-3)/2+(n-3)(n-2)/2+(n-2)(n-1)/2= =(2+6+10+20+30+...+(n-4)(n-3)+(n-3)(n-2)+(n-2)(n-1))/2 Cholera jasna. Ten wzor jest jednak zly. Sprawdzilem przez podstawienie dowolnej wartosci do n (i porownanie z wynikiem). Wiec jednak bede musial isc droga zaproponowana przez Lukasza. Prosilbym jednak o wiecej wskazowek. |
| rfs
|
Posted: 23 Kwi 2005 20:27:46 Ze zbioru wszystkich trojwyrazowych ciagow o wyrazach ze zbioru
{1,2,3,...,n} losujemy jeden ciąg. Oblicz prawdopodobienstwo wylosowania ciagu rosnacego lub malejacego. Liczba wszystkich możliwych ciągów jest łatwo policzyć (wariacje 3 elementowe ze zbioru n-elementowego). Ciągów rosnących jest tyle ile jest kombinacji 3 elementowych ze zbioru n-elementowego. Malejących tyle samo. Przecież w zbiorze możesz sobie elementy zawsze ustawić "od najmniejszego do największego" Mam nadzieje, że dobrze to napisałem :) |
| Damian Sobota
|
Posted: 23 Kwi 2005 20:55:01 Ciągów rosnących jest tyle ile jest kombinacji 3 elementowych ze zbioru
n-elementowego. Malejących tyle samo. Przecież w zbiorze możesz sobie elementy zawsze ustawić "od najmniejszego do największego" No tak. Jak zawsze, najciemniej pod latarnia. Mam nadzieje, że dobrze to napisałem :)
Bardzo dobrze. Dzieki wielkie! |
| . 1 . 2 . >> |