  |
|
| ° Forum ° Odpowiedz ° Rejestracja ° Szukaj ° | |
| samochody ciężarowe ° Auto giełda ° Sprzedam motocykle ° |
|
|
| ° Forum ° Odpowiedz ° Rejestracja ° Szukaj ° | |
| samochody ciężarowe ° Auto giełda ° Sprzedam motocykle ° |
 |
Matma / Zadanie z ciagow |
| << . 1 . 2 . |
| Autor | Wiadomość |
| Szymon Wąsowicz
|
Posted: 26 Mar 2001 21:16:26 dla ciagu geometrycznego zachodzi rownosc:
a1+a2+a3+...=a1^2+a2^2+a3^2...=2 Dla jakich k prawdziwa jest nierownosc a1+a2+a3+...+ak+<lim( (pierwiastek(n^2+1)) -n +1,9) gdy n dazy do nieskonczanosci... Prosze o rozwiazanie albo wskazofke... z gory dziekuje... Ojojoj... strasznie nie lubię takich zadań, bo one nic nie wnoszą, o niczym nie traktują. Sprawdzają jedynie opanowanie pewnych umiejętności rachunkowych. Ale cóż - takie dostałeś - takie masz rozwiązać, więc spróbuję Ci pomóc. Trzeba jakoś określić nasz ciąg (a_n). Zauważ, że suma po lewej stronie istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy |q|<1 (q - iloraz ciągu a_n). Ma ona wtedy wartość a_1/(1-q). Zauważ teraz, że (a_n^2) jest ciągiem geometrycznym o ilorazie q^2, a suma po prawej stronie istnieje <== gdy q^2<1, tj. tak samo jak dla a_n, |q|<1 (tzn. -1<q<1). Prawa strona ma wtedy wartość a^2/(1-q^2). Porównaj to wszystko z 2 i rozwiąż układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi a_1 i q. Dostaniesz q=1 lub q=1/3. q=1 odrzucamy, bo nie spełnia warunku |q|<1, a poza tym wtedy a_1=0 i byłoby a_n=0, więc a_1+a_2+...<2. Ostatecznie q=1/3, a_1=4/3, więc a_n=4/3*(1/3)^(n-1), nin N. Stąd liczymy a_1+...+a_k = a_1(q^k-1)/(q-1) = 4/3((1/3)^k-1)/(1/3-1) = 2(1-(1/3)^k). Teraz ta granica: pomnóż licznik i mianownik przez (sqrt(n^2+1)+n-1.9) (sqrt - pierwiastek kwadratowy - square root). Dostaniemy ułamek (n^2+1)-(n-1.9)^2 ----------------- = sqrt(n^2+1)+n-1.9 3.8n - 2.61 ------------------------ = n(sqrt(1+1/n^2)+1-1.9/n) 3.8 - 2.61/n ---------------------- , sqrt(1+1/n^2)+1-1.9/n co zmierza przy n--oo do 3.8/2 = 1.9. Mamy więc nierówność 2(1-(1/3)^k) < 1.9 1-(1/3)^k < 0.95 (1/3)^k 0.05 k < log_(1/3)(0.05) (uwaga na zmianę zwrotu nierówności - podstawa logarytmu jest tu mniejsza od 1). log_(1/3)(0.05) = log(0.05)/log(1/3), co w przybliżeniu jest równe 2.7 Oczywiście można rachunkowo sprawdzić, że ten logarytm jest liczbą z przedziału (2,3), ale tego już nie będę robił. Ostatecznie więc k=1, k=2 i koniec, bo k=3 to już więcej niż ten logarytm. Oj, namęczyłem się trochę, może Ci się to przyda. Mam jak zwykle przy tak długich rozwiązaniach nadzieję, że się nie pomyliłem w rachunkach. Coś zresztą zostawiłem dla Ciebie do policzenia. To, co może być nieco trudniejsze, to obliczenie tej granicy. Należało wiedzieć, przez co pomnożyć licznik i mianownik. -- Serdecznie pozdrawiam, Szymek |
| << . 1 . 2 . |