Szeregi potęg

Matma / Szeregi potęg

Autor	Wiadomość
Maciej Woźniak	Posted: 21 Paź 2008 17:46:52 Zdefiniujmy; p_i(n) = (szereg od 1 do n) k^i. Przypadkiem zauważyłem, że p_3(n)=p_1(n)^2. p_2 i p_4 nie chcą mi się ułożyć w żaden sensowny wzór. Ktoś zna jakieś wzory na p_i dla i innych niż 1,3?
Gik	Posted: 21 Paź 2008 18:44:25 Maciej Woźniak napisał: Zdefiniujmy; p_i(n) = (szereg od 1 do n) k^i. Przypadkiem zauważyłem, że p_3(n)=p_1(n)^2. To przypadek ;) p_2 i p_4 nie chcą mi się ułożyć w żaden sensowny wzór. Ktoś zna jakieś wzory na p_i dla i innych niż 1,3? Szukaj pod : wielomian/wzór Faulhabera np tutaj http://pl.wikipedia.org/wiki/Liczby_Bernoulliego A tu poniżej w bardziej zgrabnej postaci 1 1/2 n (1+n) 2 1/6 n (1+n) (1+2 n) 3 1/4 n^2 (1+n)^2 4 1/30 n (1+n) (1+2 n) (-1+3 n+3 n^2) 5 1/12 n^2 (1+n)^2 (-1+2 n+2 n^2) 6 1/42 n (1+n) (1+2 n) (1-3 n+6 n^3+3 n^4) 7 1/24 n^2 (1+n)^2 (2-4 n-n^2+6 n^3+3 n^4) 8 1/90 n (1+n) (1+2 n) (-3+9 n-n^2-15 n^3+5 n^4+15 n^5+5 n^6) 9 1/20 n^2 (1+n)^2 (-1+n+n^2) (3-3 n-n^2+4 n^3+2 n^4) PS: spacje we wzorach to mnożenia ( to jest efekt kopiowania)
Mirek	Posted: 21 Paź 2008 19:24:15 Zdefiniujmy; p_i(n) = (szereg od 1 do n) k^i. Przypadkiem zauważyłem, że p_3(n)=p_1(n)^2. Nie ty pierwszy, już Grecy to znali ;) http://en.wikipedia.org/wiki/Squared_triangular_number Dla i<3 nie jest takie oczywiste, ogólniejsze są wzory Faulhabera: http://en.wikipedia.org/wiki/Faulhaber_formula Warte poczytania są: http://arxiv.org/pdf/math/9207222v1 oraz http://web.archive.org/web/20060901095523/http://www.xula.edu/math/Research/Colloquium/Past/Colloquium20030320-Paper-SahooP.pdf czyli: http://tinyurl.com/5e42e6 Miesiąc temu pod PSEM w wątku "Łamigłówki łatwe i przyjemne" bawiliśmy się takimi sumami: ( http://tinyurl.com/5qfe4d ) http://groups.google.com/group/pl.sci.matematyka/browse_thread/thread/d72ec9a748f7c1e1 Mirek


° Forum ° Rejestracja ° Szukaj °