matematyka
 ° Forum ° Rejestracja ° Szukaj °
Remonty ° sztabka złota ° Drukarnia ° Auto giełda ° wnętrzowe stacje transformatowe

Kule

Matma / Kule
Autor Wiadomość
davidkevin

Posted: 21 Paź 2008 10:33:54



Witam,
w książce K. Maurina na str. 35 znajduje się następujący
fragment:

_________________________________________________
Definicja. Zbiór A przestrzeni metrycznej jest ograniczony, gdy jest
podzbiorem pewnej kuli.
Ostatni warunek jest równoważny następującemu: "zawarty w
pewnej kuli o zadanym środku x_0", bo gdy A zawiera się w
K(x_1, r), wówczas A zawiera się w K(x_0, r+2d(x_0, x_1)).
_________________________________________________

Czy ktoś z uczestników grupy byłby uprzejmy pokazać
(analitycznie), że tak jest w istocie? Próbowałem udowodnić
to samodzielnie korzystając z nierówności trójkąta, ale
niestety nie udało mi się. Mam jeszcze pytanie: czy powyżej
nie wystarczy wziąć K(x_0, r+d(x_0, x_1))?

Podobny problem:
str. 37

_________________________________________________
Stwierdzenie II.2. Niech x_1 !=x_2. Wtedy istnieją zbiory
otwarte O_k, k=1, 2, takie, że x_k in O_k oraz częśc wspólna
O_1 i O_2 jest równa zbiorowi pustemu.

Dowód. Wystarczy wziąć O_k=K(x_k, (1/2)*d(x_1, x_2))
__________________________________________________

Również próbowałem udowodnić to używając nierówności
trójkąta, ale również mi się nie udało, w związku z tym mam
to samo pytanie.

Ponadto na str. 41 mamy:
_________________________________________________
Niech iloczyn X_1 x X_2 będzie produktem (symetrycznym)
przestrzeni (X_1, d_1), (X_2, d_2). Oznaczmy przez p_i rzut
na i-tą współrzędną: p_i(x_1, x_2)=x_i. Wykażemy, że rzuty
są ciągłe. W tym celu wystarczy zbadać przeciwobraz dowolnej
kuli K(x_i, r_i) w X_i. Ale

p_1^(-1) (K(x_1, r_1)) = K(x_1, r_1) x X_2,

a jest to zbiór otwarty w X_1 x X_2.
_________________________________________________

IMO to jest tutaj dość poważny błąd - wystarczy przejść z
metryki dyskretnej do euklidesowej, by powyższy iloczyn kartezjański
przestał być zbiorem otwartym. Chodzi tu być może
o to, że powyższe jest prawdziwe, o ile metryka w produkcie
jest określona "naturalnie" (to znaczy żądamy, by powyższy
zbiór był tam istotnie zbiorem otwartym), ale należałoby o tym
napisać. Czy mam rację?

Z góry dzięki za wszelkie odpowiedzi.

Pozdrawiam




Maciej Woźniak

Posted: 21 Paź 2008 17:41:07




Definicja. Zbiór A przestrzeni metrycznej jest ograniczony, gdy jest
podzbiorem pewnej kuli.
Ostatni warunek jest równoważny następującemu: "zawarty w
pewnej kuli o zadanym środku x_0", bo gdy A zawiera się w
K(x_1, r), wówczas A zawiera się w K(x_0, r+2d(x_0, x_1)).
_________________________________________________


Czy ktoś z uczestników grupy byłby uprzejmy pokazać
(analitycznie), że tak jest w istocie? Próbowałem udowodnić
to samodzielnie korzystając z nierówności trójkąta, ale
niestety nie udało mi się. Mam jeszcze pytanie: czy powyżej
nie wystarczy wziąć K(x_0, r+d(x_0, x_1))?


niech x_2 in A.
d(x_2,x_0)<=d(x_2,x_1)+d(x_0,x_1).

Czy jestem ślepy i nie widzę haka? Jeśli
nie, cbdu.


_________________________________________________
Stwierdzenie II.2. Niech x_1 !=x_2. Wtedy istnieją zbiory
otwarte O_k, k=1, 2, takie, że x_k in O_k oraz częśc wspólna
O_1 i O_2 jest równa zbiorowi pustemu.

Dowód. Wystarczy wziąć O_k=K(x_k, (1/2)*d(x_1, x_2))
__________________________________________________


Również próbowałem udowodnić to używając nierówności
trójkąta, ale również mi się nie udało, w związku z tym mam
to samo pytanie.


Załóżmy, że x3 należy do ww części wspólnej.
Wiemy, że d(x1,x3)<d(x1,x2)/2 i d(x2,x3)<d(x1,x2)/2.
Zatem x1,x2,x3 łamią warunek trójkąta. Ergo - x3
nie istnieje.







davidkevin

Posted: 21 Paź 2008 20:05:22



niech x_2 in A.
d(x_2,x_0)<=d(x_2,x_1)+d(x_0,x_1).
...
Załóżmy, że x3 należy do ww części wspólnej.
Wiemy, że d(x1,x3)<d(x1,x2)/2 i d(x2,x3)<d(x1,x2)/2.
Zatem x1,x2,x3 łamią warunek trójkąta. Ergo - x3
nie istnieje.

Wszystko się zgadza. Dzięki.




 


Czas ładowania strony (sek.): 0.008
miniBB.net © 2001-2010 transport vesto ekonomia ultimal knizki
  • Nerki - przewlekły problem
  • <img src='http://bi.gazeta.pl/im/7/7647/z7647367M.jpg' align='left' hspace='4' vspace='2'>Nawet 4 mln Polaków może mieć przewlekłą chorobę nerek. Niewielu z nich zdaje sobie jednak z tego sprawę. Wyjście jest jedno - regularne badania
  • Seks czy modlitwa, czyli co ludzie robią przed snem?
  • <img src='http://bi.gazeta.pl/im/9/6929/z6929079M.jpg' align='left' hspace='4' vspace='2'>Z badań przeprowadzonych przez amerykańską National Sleep Foundation wynika, iż nasze zachowanie przed snem może być związane z pochodzeniem etnicznym.
  • Gdy mózg się broni, umysł cierpi
  • <img src='http://bi.gazeta.pl/im/9/7644/z7644369M.jpg' align='left' hspace='4' vspace='2'>Złowieszcze priony są nam niezbędne do życia, a choroba Alzheimera to skutek obrony organizmu przed infekcjami? Najnowsze badania mogą wywrócić do góry nogami naszą wiedzę o funkcjonowaniu mózgu