Kule - Matma

Matma / Kule

Autor	Wiadomość
davidkevin	Posted: 21 Paź 2008 10:33:54 Witam, w książce K. Maurina na str. 35 znajduje się następujący fragment: _________________________________________________ Definicja. Zbiór A przestrzeni metrycznej jest ograniczony, gdy jest podzbiorem pewnej kuli. Ostatni warunek jest równoważny następującemu: "zawarty w pewnej kuli o zadanym środku x_0", bo gdy A zawiera się w K(x_1, r), wówczas A zawiera się w K(x_0, r+2d(x_0, x_1)). _________________________________________________ Czy ktoś z uczestników grupy byłby uprzejmy pokazać (analitycznie), że tak jest w istocie? Próbowałem udowodnić to samodzielnie korzystając z nierówności trójkąta, ale niestety nie udało mi się. Mam jeszcze pytanie: czy powyżej nie wystarczy wziąć K(x_0, r+d(x_0, x_1))? Podobny problem: str. 37 _________________________________________________ Stwierdzenie II.2. Niech x_1 !=x_2. Wtedy istnieją zbiory otwarte O_k, k=1, 2, takie, że x_k in O_k oraz częśc wspólna O_1 i O_2 jest równa zbiorowi pustemu. Dowód. Wystarczy wziąć O_k=K(x_k, (1/2)*d(x_1, x_2)) __________________________________________________ Również próbowałem udowodnić to używając nierówności trójkąta, ale również mi się nie udało, w związku z tym mam to samo pytanie. Ponadto na str. 41 mamy: _________________________________________________ Niech iloczyn X_1 x X_2 będzie produktem (symetrycznym) przestrzeni (X_1, d_1), (X_2, d_2). Oznaczmy przez p_i rzut na i-tą współrzędną: p_i(x_1, x_2)=x_i. Wykażemy, że rzuty są ciągłe. W tym celu wystarczy zbadać przeciwobraz dowolnej kuli K(x_i, r_i) w X_i. Ale p_1^(-1) (K(x_1, r_1)) = K(x_1, r_1) x X_2, a jest to zbiór otwarty w X_1 x X_2. _________________________________________________ IMO to jest tutaj dość poważny błąd - wystarczy przejść z metryki dyskretnej do euklidesowej, by powyższy iloczyn kartezjański przestał być zbiorem otwartym. Chodzi tu być może o to, że powyższe jest prawdziwe, o ile metryka w produkcie jest określona "naturalnie" (to znaczy żądamy, by powyższy zbiór był tam istotnie zbiorem otwartym), ale należałoby o tym napisać. Czy mam rację? Z góry dzięki za wszelkie odpowiedzi. Pozdrawiam
Maciej Woźniak	Posted: 21 Paź 2008 17:41:07 Definicja. Zbiór A przestrzeni metrycznej jest ograniczony, gdy jest podzbiorem pewnej kuli. Ostatni warunek jest równoważny następującemu: "zawarty w pewnej kuli o zadanym środku x_0", bo gdy A zawiera się w K(x_1, r), wówczas A zawiera się w K(x_0, r+2d(x_0, x_1)). _________________________________________________ Czy ktoś z uczestników grupy byłby uprzejmy pokazać (analitycznie), że tak jest w istocie? Próbowałem udowodnić to samodzielnie korzystając z nierówności trójkąta, ale niestety nie udało mi się. Mam jeszcze pytanie: czy powyżej nie wystarczy wziąć K(x_0, r+d(x_0, x_1))? niech x_2 in A. d(x_2,x_0)<=d(x_2,x_1)+d(x_0,x_1). Czy jestem ślepy i nie widzę haka? Jeśli nie, cbdu. _________________________________________________ Stwierdzenie II.2. Niech x_1 !=x_2. Wtedy istnieją zbiory otwarte O_k, k=1, 2, takie, że x_k in O_k oraz częśc wspólna O_1 i O_2 jest równa zbiorowi pustemu. Dowód. Wystarczy wziąć O_k=K(x_k, (1/2)*d(x_1, x_2)) __________________________________________________ Również próbowałem udowodnić to używając nierówności trójkąta, ale również mi się nie udało, w związku z tym mam to samo pytanie. Załóżmy, że x3 należy do ww części wspólnej. Wiemy, że d(x1,x3)<d(x1,x2)/2 i d(x2,x3)<d(x1,x2)/2. Zatem x1,x2,x3 łamią warunek trójkąta. Ergo - x3 nie istnieje.
davidkevin	Posted: 21 Paź 2008 20:05:22 niech x_2 in A. d(x_2,x_0)<=d(x_2,x_1)+d(x_0,x_1). ... Załóżmy, że x3 należy do ww części wspólnej. Wiemy, że d(x1,x3)<d(x1,x2)/2 i d(x2,x3)<d(x1,x2)/2. Zatem x1,x2,x3 łamią warunek trójkąta. Ergo - x3 nie istnieje. Wszystko się zgadza. Dzięki.


° Forum ° Rejestracja ° Szukaj °