suma kwadratów

Matma / suma kwadratów

Autor	Wiadomość
Sliwtan	Posted: 5 Kwi 2001 16:09:36 Witam. Wśród zadań egzaminacyjnych na UJ natknąłem się na takie: x + y + z = 1 x^2 + y^2 + z^2 = 1 x^3 + y^3 + z^3 = 1 udowodnić, że trójki (0,0,1), (0,1,0), (1,0,0) są jedynymi rozwiązaniami tego ukladu równań. Przyrównałem iloczyn dwóch pierwszych sum do trzeciej i otrzymałem: x^2(y+z) + y^2(x+z) + z^2(x+y) = 0. I to by wystarczyło, gdybym udowodnił jeszcze, że x,y,z = 0. A tego mi właśnie brakuje. Ma ktoś pomysł? TIA pzdr. Sliwtan
Maciek	Posted: 6 Kwi 2001 07:27:12 Witam. Wśród zadań egzaminacyjnych na UJ natknąłem się na takie: x + y + z = 1 x^2 + y^2 + z^2 = 1 x^3 + y^3 + z^3 = 1 udowodnić, że trójki (0,0,1), (0,1,0), (1,0,0) są jedynymi rozwiązaniami tego ukladu równań. Przyrównałem iloczyn dwóch pierwszych sum do trzeciej i otrzymałem: x^2(y+z) + y^2(x+z) + z^2(x+y) = 0. I to by wystarczyło, gdybym udowodnił jeszcze, że x,y,z = 0. A tego mi właśnie brakuje. Ma ktoś pomysł? Ja widze rozwiazanie takie: Z pierwszego (I) wyznaczasz z = 1 - x - y i podstawiasz do (II) i (III). Rozwijasz kwadrat i szescian sumy, redukujesz co sie da (pare wyrazow sie poodejmuje). Skracasz stronami w (II) przez 2, w (III) przez 3. Z przeksztalconego drugiego wyznaczasz (x^2 + y^2) = x + y - xy i podstawiasz do trzeciego. Po kilku kolejnej redukcji otrzymujesz xy(1 - x - y) = 0 co w zwiazku z (I) oznacza xyz = 0 Stad musi byc x=0 lub y=0 lub z=0. Podstawiajac x=0 redukujesz (I) odpowiednio do rownania prostej zas (II) do rownania okregu w plaszczyznie YZ. Figury te przecinaja sie w punktach y=0,z=1 oraz y=1,z=0, co daje rozwiazania (0,0,1) i (0,1,0). Podstawiajac y=0 otrzymujesz rownanie prostej i okregu w XZ, podstawiajac z=0 - prostej i okregu w XY. Za kazdym razem otrzymasz dwa z trzech punktow: (0,0,1), (0,1,0), (1,0,0). I nie ma wiecej - c.b.d.o. Maciek
	Posted: 6 Kwi 2001 08:38:39 Witam. Wśród zadań egzaminacyjnych na UJ natknąłem się na takie: x + y + z = 1 x^2 + y^2 + z^2 = 1 x^3 + y^3 + z^3 = 1 udowodnić, że trójki (0,0,1), (0,1,0), (1,0,0) są jedynymi rozwiązaniami tego ukladu równań. Przyrównałem iloczyn dwóch pierwszych sum do trzeciej i otrzymałem: x^2(y+z) + y^2(x+z) + z^2(x+y) = 0. I to by wystarczyło, gdybym udowodnił jeszcze, że x,y,z = 0. A tego mi właśnie brakuje. Ma ktoś pomysł? TIA pzdr. Sliwtan Jestes przywiazany do swojego algebraicznego kroku i chcialbys go wykorzystac. W momencie jednak, gdy decydujesz sie na rozwazania nierownosci, nawet niewinnych typu x / 0, to korzystasz istotnie z tego, ze w szkole itd chodzi (ciche zalozenie) o cialo liczb rzeczywistych. W takim wypadku mozesz pojsc na calego. Drugie rownanie daje z miejsca trzy nierownosci: \|x\| \|y\| \|z\| < 1 Gdy \|t\| < 1, to poza dwoma wypadkami t = 0 1, gdy t^2 = t^3, mamy t^2 t^3. Zatem z rownosci: x^2 + y^2 + z^2 = x^3 + y^3 + z^3 wynika, ze kazda z liczb x y z jest 0 lub 1, skad natychmiast wynika, ze dwie z nich sa rowne 0, a trzecia 1. Pozdrawiam, Wlodek
Krzysztof Kwiatkowski	Posted: 6 Kwi 2001 13:25:10 Witam. Wśród zadań egzaminacyjnych na UJ natknąłem się na takie: x + y + z = 1 x^2 + y^2 + z^2 = 1 x^3 + y^3 + z^3 = 1 udowodnić, że trójki (0,0,1), (0,1,0), (1,0,0) są jedynymi rozwiązaniami tego ukladu równań. Przyrównałem iloczyn dwóch pierwszych sum do trzeciej i otrzymałem: x^2(y+z) + y^2(x+z) + z^2(x+y) = 0. I to by wystarczyło, gdybym udowodnił jeszcze, że x,y,z = 0. A tego mi właśnie brakuje. Ma ktoś pomysł? Ja mam pomysł, ale już tak dawno nie miałem z matematyką do czynienia, że pozostawię komuś innemu dokończenie: co to za zbiory w przestrzeni? Czy aby nie płaszczyzna, sfera i kula? Więc trzeba tylko "spojrzeć" gdzie się przecinają, tak? Już widzę. Raczej nie kula :-)
Sliwtan	Posted: 6 Kwi 2001 17:14:57 Ja mam pomysł, ale już tak dawno nie miałem z matematyką do czynienia, że pozostawię komuś innemu dokończenie: co to za zbiory w przestrzeni? Czy aby nie płaszczyzna, sfera i kula? Więc trzeba tylko "spojrzeć" gdzie się przecinają, tak? Już widzę. Raczej nie kula :-) Płaszczyzna, sfera i takie "coś". I widać, że przecinają się w 3 punktach. Ale gdyby były 4 zmienne to już większy problem :-) Możnaby zbadać, ogólnie, rozwiązania takiego układu - to by było ciekawe: x_1 + x_2 + ... + x_n = 1 (x_1)^k + (x_2)^k + ... + (x_n)^k = 1 dla k nieparzystych = 3 pzdr. Sliwtan
Sliwtan	Posted: 6 Kwi 2001 17:25:41 Jestes przywiazany do swojego algebraicznego kroku i chcialbys go wykorzystac. W momencie jednak, gdy decydujesz sie na rozwazania nierownosci, nawet niewinnych typu x / 0, to korzystasz istotnie z tego, ze w szkole itd chodzi (ciche zalozenie) o cialo liczb rzeczywistych. W takim wypadku mozesz pojsc na calego. Drugie rownanie daje z miejsca trzy nierownosci: \|x\| \|y\| \|z\| < 1 Gdy \|t\| < 1, to poza dwoma wypadkami t = 0 1, gdy t^2 = t^3, mamy t^2 t^3. Zatem z rownosci: x^2 + y^2 + z^2 = x^3 + y^3 + z^3 wynika, ze kazda z liczb x y z jest 0 lub 1, skad natychmiast wynika, ze dwie z nich sa rowne 0, a trzecia 1. Dzięki, proste rozwiązanie ale szkoda, że w takiej postaci jest przez wielu uważane za niekompletne, za mało komentarzy itd. Np. na OM mażnaby ograniczyć się do takich szybkich "przejść", ale na egzaminie rekrutacyjnym na UJ nie odważyłbym się (stamtąd jest zadanie). pzdr. Sliwtan Pozdrawiam, Wlodek --
Andrzej Komisarski	Posted: 6 Kwi 2001 19:35:46 Wśród zadań egzaminacyjnych na UJ natknąłem się na takie: x + y + z = 1 x^2 + y^2 + z^2 = 1 x^3 + y^3 + z^3 = 1 udowodnić, że trójki (0,0,1), (0,1,0), (1,0,0) są jedynymi rozwiązaniami tego ukladu równań. Niech A = x + y + z B = x^2 + y^2 + z^2 C = x^3 + y^3 + z^3 Wówczas xyz = (A^3-C)/6 - (A^2 - B)/4 = 0 xy + yz + zx = (A^2-B)/2 = 0 Z pierwszej zależności wynika, że conajmniej jedna z liczb x, y, z jest zerem, a następnie z drugiej wynika, że jeszcze jedna musi być zerem.


° Forum ° Rejestracja ° Szukaj °