  |
|
| ° Forum ° Rejestracja ° Szukaj ° | |
| Auto giełda ° wnętrzowe stacje transformatowe |
 |
Matma / O dodawaniu zbiorów |
| Autor | Wiadomość |
| Szymon Wąsowicz
|
Posted: 5 Kwi 2001 21:23:01 Witam, W nawiązaniu do listu sinnera (wątek "funkcja" z 5.04) chciałbym przedstawić pewną znaną i w pewnych sytuacjach użyteczną konstrukcję. Niech A,B będą niepustymi podzbiorami R, a liczba tin R ("in" - należy do). Określamy dwa zbiory: A+B = {x+y : xin A, yin B}, tA = {tx : xin A}. Oczywiście takie same działania można określić na niepustych podzbiorach (tutaj rzeczywistej) przestrzeni liniowej, ale nie będę tej myśli rozwijał. Niech teraz A=[a,b], B=[c,d] (chodzi mi o przedziały domknięte) oraz tin R. Można sprawdzić, że 1. [a,b]+[c,d] = [a+c,b+d] 2. t[a,b] = [ta,tb] dla t0 3. t[a,b] = [tb,ta] dla t<0 4. -[a,b] = [-b,-a] 5. [a,b]-[c,d] = [a-d, b-c] Sprawdźmy np. 1. Niech uin [a,b]+[c,d]. Istnieją więc takie xin [a,b], yin [c,d], że u=x+y. Skoro więc a <= x <= b, c <= y <= d, to a+c <= x+y <= b+d, co oznacza, że uin [a+c,b+d], więc [a,b]+[c,d] zawiera się w [a+c,b+d]. Na odwrót, niech uin [a+c,b+d], tj. a+c <= u <= b+d. Z tej nierówności wnosimy, że a <= u-c <= b+d-c. Rozważmy dwa przypadki: (i) u-c <= b Wtedy a <= u-c <= b, więc (u-c)in [a,b]. Dla x=u-c, y=c mamy xin [a,b], yin [c,d], u=x+y. Stąd uin [a,b]+[c,d]. (ii) b < u-c Wtedy b+c < u <= b+d, (przypominam, że uin [a+c,b+d]), a więc c < u-b <= d, skąd (u-b)in [c,d]. Wystarczy teraz przyjąć x=b, y=u-b, aby dostać, że xin [a,b], yin [c,d], u=x+y. Tutaj więc również uin [a,b]+[c,d]. Pokazaliśmy więc, że [a+c,b+d] zawiera się w [a,b]+[c,d]. Sprawdzenie pozostałych punktów pozostawiam Czytelnikom. Proponuję sprawdzić najpierw 4, potem 2, 3 wynika z 4 i 2, a 5 wynika wtedy z 1. Teraz przykład: sinner poprosił o wyznaczenie zbioru wartości funkcji y=cos2x+3sin^2x-4cos^2x. Zbiór ten zawiera się w zbiorze [-1,1] + 3*[0,1] - 4*[0,1] = [-1,1] + [0,3] + [-4,0] = [-1+0-4,1+3+0] = [-5,4]. Widać jednak, że ten przedział nie jest zbiorem wartości naszej funkcji, bo można łatwo pokazać, że jeśli jednak przekształcimy y do postaci y=5(sin x)^2-3, to dostajemy od razu -3<=y<=2. A jak tu działa "moja" metoda? 5*[0,1]+{-3}=[0,5]+{-3}=[0-3,5-3]=[-3,2]. Wnikliwy Czytelnik spostrzeże, że o takim dodawaniu punktu do zbioru nic jeszcze nie mówiłem. Jednak łatwo można sprawdzić, że [a,b]+{c} = [a+c,b+c]. Proszę zainteresowanych o samodzielne wyjaśnienie sobie, czemu raz moja metoda prowadzi do uzyskania zbioru wartości, a raz nie - dając jedynie nadzbiór tego zbioru wartości. O algebraicznym dodawaniu zbiorów można jeszcze wiele ciekawych rzeczy powiedzieć. Zostawiam do zbadania problem, czy zawsze A+A=2A? Co ewentualnie należy o zbiorze A dodatkowo założyć? Oczywiście w tym akapicie nie zakładam już, że A jest przedziałem. -- Serdecznie pozdrawiam, Szymek |