  |
|
| ° Forum ° Rejestracja ° Szukaj ° | |
| Auto giełda ° wnętrzowe stacje transformatowe |
 |
Matma / Feuerbach i okregi |
| Autor | Wiadomość |
| Posted: 5 Kwi 2001 14:39:25 Znajdź położenie dwóch punktów X1 i X2 we wnętrzu kwadratu o boku długości a, dla których suma pól rozłącznych kół zawartych w kwadracie, o środkach odpowiednio w punkcie X1 i w punkcie X2 jest największa. Oblicz tę największą wartość sumy pól kół. Slynne zadanie Feuerbacha - ktore zadawal kandydatom na uczelnie matematyczne (rozwiazanie jest podobno proste - no ale coz jakos mi nie idzie) Prosze o pomoc |
|
| Paweł Kliber
|
Posted: 6 Kwi 2001 12:06:17 Znajdź położenie dwóch punktów X1 i X2 we wnętrzu kwadratu o boku
długości a, dla których suma pól rozłącznych kół zawartych w kwadracie, o środkach
odpowiednio w punkcie X1 i w punkcie X2 jest największa. Oblicz tę największą wartość sumy pól kół.
Slynne zadanie Feuerbacha - ktore zadawal kandydatom na uczelnie matematyczne (rozwiazanie jest podobno proste - no ale coz jakos mi nie idzie)
Natychmiast widać, że figura będąca sumą obu kół powinna dotykać dwóch naprzeciwległych boków kwadratu (gdyby tak nie było moznaby jedno koło przesunąć i powiększyć). Trudniej zauważyć, że ta figura powinna dotykac wszystkich czterech boków kwadratu. Załóżmy, że tak nie jest. Figura dotyka tylko dwóch, naprzeciwległych boków. Niech będą to bok prawy i lewy. Koło dotykające prawego boku będę dalej nazywał prawym kołem (ma ono promień Rp ), a koło dotykające lewego boku - lewym (ma promień Rl). Środek prawego koła leży w odległości Rp od prawego boku, a jego odległości od boków górnego i dolnego są większe od Rp. Jeżeli środek prawego koła leży powyżej środka lewego koła, to możemy prawe koło dosunąć do do górnego brzegu i nieco zwiększyć jego promień (jeżeli środek prawego koła leży poniżej środka lewego koła, to przesuwamy je w dół). Tak samo robimy z lewym kołem. tym sposobem zwiększyliśmy pole figury, więc pierwsza figura nie była dobra. Ponieważ figura dotyka wszystkich czterech boków kwadratu, więc środki kół leżą na przekątnej kwadratu. Mozna więc łatwo wyrazić promień drugiego, jako funkcjię promienia pierwszego koła, policzyć pole figury i zmaksymalizować. Jednak nawet bez liczenia widać, że jedno koło musi być położone na środku i średnice a. Drugie koło ma średnicę sqrt{a(sqrt(2)-1}/sqrt(2) i lezy w odległości (1/4){sqrt(2)-1} od wierzchołka kwadratu. Pozdrawiam Paweł Kliber |
| Bikini
|
Posted: 7 Kwi 2001 03:50:36 Znajdź położenie dwóch punktów X1 i X2 we wnętrzu kwadratu o boku
długości a, dla których suma pól rozłącznych kół zawartych w kwadracie, o środkach
odpowiednio w punkcie X1 i w punkcie X2 jest największa. Oblicz tę największą wartość sumy pól kół.
Slynne zadanie Feuerbacha - ktore zadawal kandydatom na uczelnie matematyczne (rozwiazanie jest podobno proste - no ale coz jakos mi nie idzie)
1 - w kwadrat wpisać okrąg { R1 = a / 2 } 2 -w czterech wierzchołkach kwadratu powstaną cztery małe wycinki w jednym z nich wpisać maksymalny drugi okrąg { R2< (a*sqrt(2) - )/2 } 3 - pole PI * a^ 2 / 4 4 - itd. NoName :-|( |