  |
|
| ° Forum ° Rejestracja ° Szukaj ° | |
| Auto giełda ° wnętrzowe stacje transformatowe |
 |
Matma / EKSTREMALNE POLE |
| Autor | Wiadomość |
| Posted: 4 Kwi 2001 07:20:50 Znajdź położenie dwóch punktów X1 i X2 we wnętrzu kwadratu o boku długości a, dla których suma pól rozłącznych kół zawartych w kwadracie, o środkach odpowiednio w punkcie X1 i w punkcie X2 jest największa. Oblicz tę największą wartość sumy pól kół. Prosze o szybka odpowiedz na zadanie Jezeli jest to mozliwe prosze o przeslanie algorytmu postepowania lub rozwiazania zadania... |
|
| Sliwtan
|
Posted: 6 Kwi 2001 19:04:11 Znajdź położenie dwóch punktów X1 i X2 we wnętrzu kwadratu o boku
długości a, dla których suma pól rozłącznych kół zawartych w kwadracie, o środkach
odpowiednio w punkcie X1 i w punkcie X2 jest największa. Oblicz tę największą wartość sumy pól kół.
Prosze o szybka odpowiedz na zadanie Jezeli jest to mozliwe prosze o przeslanie algorytmu postepowania lub rozwiazania zadania... Rozwizanie będzie na chłopa i nie po matematycznemu. Weźmy przypadek najberdziej ogólny: Dwa rozłączne koła, należące do kwadratu, ale rozłączne z krawędziami. Możemy "zsunąć" koła do siebie, aby ich okręgi były styczne - odtrzymujemy tą samą sumę pól, ale też przypadek bardziej szczególny. Możeby "przesunąć" obydwa koła tak, aby okrąg jednego z nich był styczny do dwóch boków kwadratu. Suma pól nadal nie ulega zmianie, otrzymujemy przypadek bardziej szczególny. Możemy powiększyć proporcjonalnie obydwa koła tak, żeby okrąg pierwszego z nich nadal był styczny do dwóch boków kwadratu, natomiast okrąg drugiego koła był styczny do conajmniej jednego boku. Suma pól jest powiększona a przypadek bardziej szczególny. Odległość środka drugiego koła od środka pierwszego koła pomniejszona o długość promienia pierwszego koła jest oczywiście równa odlegości środka drugiego koła od boku stycznego do okręgu drugiego koła Z tego, środek okręgu drugiego koła leży na pewnej krzywej (chyba paraboli). Punkt tej krzywej, którego minimalna z odległości od wszystkich boków jest największa (pole drugiego koła największe), leży na tej przekątnej kwadratu, na której leży środek pierwszego koła. Z tego, okrąg drugiego koła jest styczny do dwóch boków kwadratu i do okręgu pierwszego koła. Środki tych kół leżą oczywiście na przekątnej kwadratu. Gdy zrobimy rysunek, okaże się, że a = r1 + (r1 + r2)*sqrt(2) + r2 czyli r1 + r2 = a / (1 + sqrt(2)). Suma pól kół to: P = pi*r1^2 + pi*r2^2 czyli P = pi*(r1^2 + r2^2) Pole jest maksymalne, kiedy suma kwadratów okręgów jest maksymalna. A ta suma, przy stałej sumie okręgów, jest maksymalna przy największej różnicy długości obu promieni. Długości te są jednak ograniczone przez rozmiary kwadratu. Rozwiązaniem jest więc maksymalne koło, czyli o promieniu a/2 oraz "wciśnięte" w jeden z rogów, mniejsze koło. Proszę "kogoś mądrego", żeby napisał, co myśli o takim rozwiązaniu. pzdr. Sliwtan -- |