  |
|
| ° Forum ° Rejestracja ° Szukaj ° | |
| Auto giełda ° wnętrzowe stacje transformatowe |
 |
Matma / suma ciagu arytmetycznego i geometrycznego |
| . 1 . 2 . >> |
| Autor | Wiadomość |
| Robert Kuźmiak
|
Posted: 30 Mar 2001 19:46:01 mam problem: za bardzo nie wiem jak zabrac sie do udowodnienia nastepujacego twierdzenia: Z. Mamy dwa ciagi - arytmetyczny (o roznicy0) i geometryczny (o ilorazie 1). Zarowno pierwsze jak i k-te wytazy tych obu ciagow sa rowne.
T. Suma k pierwszych wyrazow ciagu arytmetycznego jest wieksza od sumy k pierwszych wyrazow ciagu geometrycznego. D. ? dla k=3 jest prosto. Ciagi roznia sie tylko wyrazem 2. Poniewaz srednia arytmetyczna jest wieksza od geometrycznej (dla roznych wyrazow 1. i 3. (czyli r0 i q1)) to suma ciagu aryt. jest wieksza os sumy ciagu geo. Ale jak to udowodnic dla k3? |
| Piotr Wladyka ETM
|
Posted: 30 Mar 2001 20:09:36 mam problem: za bardzo nie wiem jak zabrac sie do udowodnienia nastepujacego twierdzenia: Z. Mamy dwa ciagi - arytmetyczny (o roznicy0) i geometryczny (o ilorazie 1). Zarowno pierwsze jak i k-te wytazy tych obu ciagow sa rowne. T. Suma k pierwszych wyrazow ciagu arytmetycznego jest wieksza od sumy k pierwszych wyrazow ciagu geometrycznego. D. ? dla k=3 jest prosto. Ciagi roznia sie tylko wyrazem 2. Poniewaz srednia arytmetyczna jest wieksza od geometrycznej (dla roznych wyrazow 1. i 3. (czyli r0 i q1)) to suma ciagu aryt. jest wieksza os sumy ciagu geo. Ale jak to udowodnic dla k3? Najprosciej geometrycznie. Nasze ciagi sa funkcjami N - R. Dla ciagu arytmetycznego wykresem beda punkty lezace na prostej, ciagowi geometrycznemu beda odpowiadaly punkty lezace na krzywej wykladniczej (wypuklej). Jesli wykresy przecinaja sie w dwu punktach to pomiedzy nimi krzywa bedzie sie znajdowala POD prosta. Mozesz sie bawic w rozwiazywanie analityczne ale wtedy tez odpowiednio wykorzystaj powyzsza zaleznosc. zdrufko! Vlad |
| Posted: 30 Mar 2001 20:36:30 mam problem: za bardzo nie wiem jak zabrac sie do udowodnienia nastepujacego
twierdzenia: Z. Mamy dwa ciagi - arytmetyczny (o roznicy0) i geometryczny (o ilorazie 1). Zarowno pierwsze jak i k-te wytazy tych obu ciagow sa rowne. T. Suma k pierwszych wyrazow ciagu arytmetycznego jest wieksza od sumy k pierwszych wyrazow ciagu geometrycznego. D. ? dla k=3 jest prosto. Ciagi roznia sie tylko wyrazem 2. Poniewaz srednia arytmetyczna jest wieksza od geometrycznej (dla roznych wyrazow 1. i 3. (czyli r0 i q1)) to suma ciagu aryt. jest wieksza os sumy ciagu geo. Ale jak to udowodnic dla k3? Mozna (udowodnic i) uzyc twierdzenia o srednich waz^onych. Wlodek |
|
| Łukasz Kalbarczyk
|
Posted: 30 Mar 2001 21:08:52 Z. Mamy dwa ciagi - arytmetyczny (o roznicy0) i geometryczny (o ilorazie
1). Zarowno pierwsze jak i k-te wytazy tych obu ciagow sa rowne. Polecam wątek "Brak pomysłu" sprzed 4 dni. -- ## ICQ: 84004777 ## http://piatka.o.k.pl ## http://moze.dodaj.sobie.to ## ## Sztuką nie jest zadawanie pytań - sztuką jest uzyskiwanie odpowiedzi ## |
| Posted: 31 Mar 2001 04:05:44 Vlad: [...] Z. Mamy dwa ciagi - arytmetyczny (o roznicy0) i geometryczny (o ilorazie 1). Zarowno pierwsze jak i k-te wytazy tych obu ciagow sa rowne. T. Suma k pierwszych wyrazow ciagu arytmetycznego jest wieksza od sumy k pierwszych wyrazow ciagu geometrycznego. D. ? [...] jak to udowodnic dla k3? Najprosciej geometrycznie. Nasze ciagi sa funkcjami N - R. Dla ciagu arytmetycznego wykresem beda punkty lezace na prostej, ciagowi geometrycznemu beda odpowiadaly punkty lezace na krzywej wykladniczej (wypuklej). Jesli wykresy przecinaja sie w dwu punktach to pomiedzy nimi krzywa bedzie sie znajdowala POD prosta. Bardzo dobrze, ale SKAD to wiadomo? Mozesz sie bawic w rozwiazywanie analityczne ale wtedy tez
odpowiednio wykorzystaj powyzsza zaleznosc. To nie jest kwestia "mozesz", w koncu musi sie podac jakis dowod. zdrufko!
Vlad -- Rzeczywiscie mozna analitycznie, po linii Vlada: funkcja f(t) := a*q^t ma druga/ pochodna/ dodatnia/. To wszystko. Tyle, ze mozna rowniez rozwiazac zadanie elementarnie, bez Analizy. Z drugiej strony sugestia Vlada daje pelny obraz. Pozdrawiam, Wlodek |
|
| Posted: 31 Mar 2001 03:53:09 -- Adam "aimsoft" Michalski (a moglbys Adamie pospisywac swoje listy? Gdy uzywam reply, to sladu nie ma po autorze, musze wracac w onet.pl i jest to naprawde uciazliwe): mam problem: [...] Z. Mamy dwa ciagi - arytmetyczny (o roznicy0) i geometryczny (o ilorazie 1). Zarowno pierwsze jak i k-te wytazy tych obu ciagow sa rowne. T. Suma k pierwszych wyrazow ciagu arytmetycznego jest wieksza od sumy k pierwszych wyrazow ciagu geometrycznego. D. ? [...] jak to udowodnic dla k3? Mozna (udowodnic i) uzyc twierdzenia o srednich waz^onych. Hmm... moglbys cos wiecej na ten temat napisac? Dla dodatnich a1 ... an mamy: (a1+...an)/n / (a1*...*an)^(1/n) Niech 1 < k < n. Niech a1 = ... = ak = a oraz aj = b dla j=k+1 ... n. Wtedy dla t = k/n mamy: t*a + (1-t)*b / a^t * b^(1-t) Dowiedlismy powyzszej niwerownosci dla dowolnego t wymiernego z przedzialu [0;1]. Z ciaglosci wynika, ze nierownosc zachodzi dla dowolnego rzeczywistego t z [0;1]. (Do zadania wystarcza/ wymierne t). Uwaga: mozna sie pomiedzy podobnymi nierownosciami, jak po znajomym miasteczku, poruszac sie w dowolnej kolejnosci, dowodzac najpierw jednych, potem korzystajac z nich, drugich, uzywajac metod albo kompletnmie elementarnych, albo elementow Analizy Matematycznej. W kazdym razie, czego wczesniej specjalnie nie napisalem, otrzymujemy wiecej niz za/da zadanie. Kazdy posredni wyraz ciagu arytmetycznego jest wiekszy lub rowny niz odpowiedzni geometrycznego, a nawet ostro wiekszy przy podanych zalozeniach. Pozdrawiam, Wlodek |
|
| Szymon Wąsowicz
|
Posted: 1 Kwi 2001 09:07:25 [...] Najprosciej geometrycznie. Nasze ciagi sa funkcjami N - R.
Dla ciagu arytmetycznego wykresem beda punkty lezace na prostej, ciagowi geometrycznemu beda odpowiadaly punkty lezace na krzywej wykladniczej (wypuklej). Jesli wykresy przecinaja sie w dwu punktach to pomiedzy nimi krzywa bedzie sie znajdowala POD prosta. Bardzo dobrze, ale SKAD to wiadomo? [...] Rzeczywiście o takiej definicji funkcji wypukłej nie mówi się w szkole. Tam angażuje się chyba nawet drugą pochodną, albo pierwszą żądając, aby była rosnąca. W ten sposób nie rozstrzygniemy, czy np. funkcja f(x)=|x| jest wypukła. Wiem, Włodku, że doskonale zdajesz sobie sprawę, "SKAD to wiadomo", a to co napiszę, ma w założeniu charakter dydaktyczny i jest skierowane do każdego, kogo to zainteresuje. Otóż funkcję f określoną na przedziale I i przyjmującą wartości rzeczywiste nazywamy wypukłą, jeśli dla każdych x,yin I i dla każdego tin (0,1) spełniona jest nierówność f(tx+(1-t)y) <= tf(x) + (1-t)f(y). Powiedzmy, że x<y. Wtedy punkt tx+(1-t)y leży pomiędzy x i y. Prawa strona powyższej nierówności jest rzędną punktu o odciętej tx+(1-t)y, który leży na prostej przechodzącej przez punkty (x,f(x)), (y,f(y)). Ponieważ każdy punkt leżący pomiędzy x i y można przedstawić w postaci tx+(1-t)y dla pewnego tin[0,1], to nierówność definiująca wypukłość mówi, że pomiędzy x i y wykres funkcji wypukłej leży poniżej swojej siecznej. Zauważmy, że ta definicja wypukłości nie odwołuje się do niczego więcej, jak tylko do samej funkcji f oraz do struktury porządkowej w zbiorze R (chodzi mi tu o zbiór wartości). W szczególności nie występują tu pochodne. Łatwo sprawdzamy, że funkcja f(x)=|x| jest wypukła w sensie tej definicji. -- Serdecznie pozdrawiam, Szymek |
| . 1 . 2 . >> |