  |
|
| ° Forum ° Rejestracja ° Szukaj ° | |
| Auto giełda ° wnętrzowe stacje transformatowe |
 |
Matma / ciagi... |
| . 1 . 2 . 3 . >> |
| Autor | Wiadomość |
| leinad
|
Posted: 29 Mar 2001 20:33:51 jezeli a(1) = 1 i a (n+1) = 2*a(n)+1 //wzor rekurencyjny to jak znalezc wzor ogolny takiego ciagu ? pozdrawiam Daniel |
| leinad
|
Posted: 29 Mar 2001 20:54:39 jezeli
a(1) = 1 i a (n+1) = 2*a(n)+1 file://wzor rekurencyjny to jak znalezc wzor ogolny takiego ciagu ? a_n = 2^n -1 pozdrawiam, aeternus Tak ! Wiem, ale jak to udowodnic? Wymyslilem (?): n __ a(n) = 2 * k + 1 /__ k=3 gdzie k nalezy do N Mozna w ogole uzyc takiego zapisu ? |
| Łukasz Kalbarczyk
|
Posted: 29 Mar 2001 22:18:01 to jak znalezc wzor ogolny takiego ciagu ?
Trochę powtórzę, co napisali inni, ale warto, żebyś dokładnie prześledził poniższe, bo w szkole średniej wszystko się robi właśnie tak. Napisz kolejne wyrazy... a(1)=1 a(2)=3 a(3)=7 a(4)=15 a(5)=31 Jak łatwo zauważyć (:-)) a(1)=1=2-1=2^1-1 a(2)=3=4-1=2^2-1 a(3)=7=8-1=2^3-1 a(4)=15=16-1=2^4-1 a(5)=31=32-1=2^5-1 co można spróbować uogólnić a(n)=2^n-1 i jak wyjdzie z indukcji to koniec. Dla a(1): 1=1 Zatem zakładając, że dla każdego n a(n)=2^n-1, trzeba dowieść, że a(n+1)=2^(n+1)-1 Dowód: a(n+1)=2*a(n)-1=2*2^n-1=2^(n+1)-1 c.n.u. zatem a(n)=2^n-1 To teraz zadanko ambitniejsze: Spróbuj znaleźć wzór ogólny ciągu d(n) zdefiniowanego tak: d(1)=a d(2)=b 2/d(n)=1/d(n-1)+1/d(n+1) Wskazówki na priv. :-) -- ## ICQ: 84004777 ## http://piatka.o.k.pl ## http://moze.dodaj.sobie.to ## ## Sztuką nie jest zadawanie pytań - sztuką jest uzyskiwanie odpowiedzi ## |
| Michal Misiurewicz
|
Posted: 29 Mar 2001 23:27:22 jezeli a(1) = 1 i a (n+1) = 2*a(n)+1 //wzor rekurencyjny to jak znalezc wzor ogolny takiego ciagu ? Oczywiscie zgadnac i udowodnic przez indukcje to bardzo dobra metoda. Ale mozna i tak: Jesli f(x)=2x+1, to a(n+1)=f(a(n)). Iterujemy wiec przeksztalcenie afiniczne. A jesli przesuniemy zero w punkt staly tego przeksztalcenia, dostaniemy przeksatalcenie liniowe. Szukamy wiec punktu stalego: x=2x+1, czyli x=-1. A wiec trzeba polozyc b(n)=a(n)-(-1), czyli b(n)=a(n)+1. Wtedy: b(n+1)=a(n+1)+1=2a(n)+1+1=2b(n) i dalej juz nie ma klopotu. Metoda ta jest wygodna, jesli nie jest latwo zgadnac wzor. Ale dziala w zasadzie tylko dla funkcji afinicznych. Pozdrowienia, Michal |
| Posted: 30 Mar 2001 01:03:55 -- Łukasz Kalbarczyk: Spróbuj znaleźć wzór ogólny ciągu d(n) zdefiniowanego tak:
d(1)=a d(2)=b 2/d(n)=1/d(n-1)+1/d(n+1) Rozwiazanie ponizej. Kto woli nie przeczytac gotowego moze sie jeszcze wycofac -- zostawiam pusta przestrzen na zdecydowanie sie. Pozdrawiam, Wlodek / / / / / / / / | | | | | / V ============= Rozwiazanie: Rozwiazanie (d(n) : n in Z) istieje tylko wtedy, gdy a b sa rozne od zera (nie jest to warunek wystarczajacy). Rozpatrzmy ciag (D(n) : n in Z) taki, ze: D(0) := A := 1/a D(1) := B := 1/b oraz 2*D(n) = D(n-1) + D(n+1) dla kazdego n in Z. Istnieje dokladnie jeden taki ciag i jest to postep arytmetyczny: D(n) = A + n*(B-A) Istnieje wiec co najwyzej jeden ciag (d(n) : n in Z) spelniajacy warunki zadania, mianowicie: d(n) := 1/D(n-1) dla n in Z. Warunkiem koniecznym i dostatecznym istnienia takiego ciagu jest, zeby oba a b byly rozne od zera oraz zeby D(n) bylo rozne od zera dla kazdego n in Z. UWAGA. Jezeli rozwazamy ciagi jednostronne (d(n) : n in N), to za/damy, zeby D(n) =/= 0 dla n in N. Ma to miejsce, gdy 0 < b < a lub gdy a < b < 0 (krotko lecz mniej klarownie: gdy a*(a-b) 0). -- wh |
|
| Andrzej Lewandowski
|
Posted: 30 Mar 2001 02:55:35 jezeli
a(1) = 1 i a (n+1) = 2*a(n)+1 //wzor rekurencyjny to jak znalezc wzor ogolny takiego ciagu ? Ja tam nie jestem taki uczony jak moi koledzy, wiec mialbym nawet klopoty zeby sobie przypomniec co to jest funkcja afiniczna :) Ale w inzynierii takie rownania spotyka sie czesto wiec inzynierowie rozwiazuja je roznymi prymitywnymi sposobami. Rownanie takie jest niejednorodnym rownaniem roznicowym. Jezeli pominiemy wyraz wolny (tzn. 1), dostaniemy rownanie jednorodne a(n+1) = 2*a(n) Mozna poszukiwac rozwiazania tego rownania w postaci a(n) = r^n Jezeli tak, to r^(n+1) = 2*r^n czyli r = 2 zatem a(n) = 2^n Zauwazmy, ze rozwiazaniem bedzie rowniez a(n) = C*2^n gdzie C jest dowolna stala. To rozwiazanie nosi nazwe "rozwiazania ogolnego rownania jednorodnego". Wrocmy do rownania niejednorodnego. Otoz, jezeli uda nam sie znalezc dowolne, SZCZEGOLNE rozwiazane A(n) rownania niejednorodnego, to rowiazanie bedace suma rozwiazana ogolnego rownania jednorodnego i owego rozwiazania szczegolnego, czyli a(n) = C*2^n + A(n) bedzie rozwiazaniem ogolnym rownania niejednorodnego. Jest na to twierdzenie z dowodem. Rozwiazanie szczegolne latwo znalezc, np w postaci ciagu stalego A(n) = A Podstawiajac do rownania niejednorodnego mamy A = 2*A + 1 czyli A = - 1 Zatem nastepujace jest ogolne rozwiazanie naszego rownania niejednorodnego a(n) = C*2^n - 1 Rownanie musi spelniac warunek poczatkowy a(1) = 1, zatem a(1) = C*2 + 1 = - 1 czyli C = 1. Stad rozwiazanie ktore slusznie przewidzial Kol. Amisoft a(n) = 2^n - 1 Chcialem zauwazyc ze problem rozwiazywania takiego rownania nie jest bynajmniej cikawostka i lamiglowka. Rownania takie wystemuja np. w ukladach sterowania automatycznego gdy regulatorem jest komputer ktory sila rzeczy dziala w sposob dyskretny. Teoria rownan roznicowych jest rownie rozwinieta jak teoria rownan rozniczkowych i dosyc do niej podobna. Inzynierowie elektrycy i automatycy rozwiazuja takie rownania przy pomocy "transformaty Z". Gdyby ktos chcial wiecej sie fowiedziec, to sa ksiazki na ten temat, rowniez po polsku, np. Jury, "Dyskretne uklady sterowania" (wydana dosyc dawno temu). Na temat rownan roznicowych nie wiem czy cos jest po polsku, ale po angielsku sporo, np. "Introduction to Difference Equations", Samuel Goldberg, Dover, ISBN 0-486-65084-7 A.L. |
| Andrzej Lewandowski
|
Posted: 30 Mar 2001 03:03:30 a(1) = C*2 + 1 = - 1 No, pomylilem sie... Powinnoi byc a(1) = C*2 - 1 = 1 czyli C = 1 A.L. |
| . 1 . 2 . 3 . >> |