Zadanie konkursowe

Matma / Zadanie konkursowe

Autor	Wiadomość
Robert Wójcik	Posted: 26 Mar 2001 16:23:31 Mecze sie od jakiegos czasu nad zadaniem : Jak wyglada wzor na sume wyrazenia: 1+4+9+16+...+n^2 ? Robert Wójcik WWW: www.epsilon.z.pl
Robert Wójcik	Posted: 27 Mar 2001 16:43:02 1+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 Teraz juz wystarczy indukcja... Jak sie dochodzi do takich rezultatow, to juz inna sprawa. Niestety w tej westii mam marna wiedze, dlatego nie pomoge Ci... Najtrudniejsze jest jednak dojsc do takiego wzoru, bo nikt nie uzna takiego sposobu. Ale dzieki, moze teraz pokombinuje. Robert Wójcik WWW: www.epsilon.z.pl
Łukasz Kalbarczyk	Posted: 27 Mar 2001 16:59:26 Najtrudniejsze jest jednak dojsc do takiego wzoru, bo nikt nie uzna takiego sposobu. Ale dzieki, moze teraz pokombinuje. Jakiego sposobu "nikt nie uzna"? Indukcji matematycznej? Przecież na tym opiera się masa dowodów matematycznych. Przecież na poziomie szkoły średniej wszystkie tego typu zadania polegają na znalezieniu zależności - wzoru ogólnego "ręcznie", a potem udowodnieniu go. Zresztą ten wzór jest w każdych tablicach matematycznych. -- ## ICQ: 84004777 ## http://piatka.o.k.pl ## http://moze.dodaj.sobie.to ## ## Sztuką nie jest zadawanie pytań - sztuką jest uzyskiwanie odpowiedzi ##
TS	Posted: 27 Mar 2001 18:04:58 Witam! Najtrudniejsze jest jednak dojsc do takiego wzoru, bo nikt nie uzna takiego sposobu. Ale dzieki, moze teraz pokombinuje. Jakiego sposobu "nikt nie uzna"? Indukcji matematycznej? Przecież na tym opiera się masa dowodów matematycznych. Przecież na poziomie szkoły średniej wszystkie tego typu zadania polegają na znalezieniu zależności - wzoru ogólnego "ręcznie", a potem udowodnieniu go. Zresztą ten wzór jest w każdych tablicach matematycznych. Ale jesli nie mamy takowych pod reka ... trzeba sobie radzic inaczej. W przypadku postawionego zadania (i wielu podobnych), mozna oprzec sie na oczywistej tozsamosci: sum_{i=1}^{n}(a_(i+1)- a(i)) = a_(n+1) - a_(1) () problemem jest teraz zdefiniowanie a_i tak, by otrzymac pod suma i^2 (ew.i^2 + b_i, gdzie b_i jest i-tym wyrazem pewnego ciagu, ktorego sume n pierwszych wyrazow umiemy policzyc) Kladziemy a_i := i^3. Mamy wtedy z (): sum_{i=1}^{n}(3i^2 + 3i + 1) = (n+1)^3 - 1 sum_{i=1}^{n}(i^2) = ((n+1)^3-1 - 3sum_{i=1}^{n}(i) - n)/3 sum_{i=1}^{n}(i^2) = ((n+1)^3-1 - 3(n+1)n/2 - n)/3 = = (n+1)((n+1)^2 - 3/2 n - 1)/3 = = (n+1)(2n+1)n/6 (Ex.: Zastosowac te metode dla znalezienia sumy n pierwszych wyrazow np. ciagu geometrycznego lub ciagu o k-tym wyrazie rownym cos(kx), gdzie x - pewna liczba rzeczywista) Pozdrawiam, Tomek PS. Zgadniecie wzoru i dowod indukcyjny to czasami najszybsza z metod, gdyz problem znalezienia jawnej postaci wzoru na sume dowolnego ciagu nie jest latwy. Pewna klase tego typu zadan mozna rozwiazywac korzystajac z teorii funkcji tworzacych.
Maciek Przybyła	Posted: 27 Mar 2001 18:07:40 Robert Wójcik napisał: Mecze sie od jakiegos czasu nad zadaniem : Jak wyglada wzor na sume wyrazenia: 1+4+9+16+...+n^2 ? Nie wiem jakim aparatem matematycznym dysponujesz, bo można na przykład zastosować tutaj całki oznaczone, rachunek różnicowy lub zrobić to zupełnie elementarnie, ale trzeba doskonale posługiwać się znakiem sumy i znać wzór Newtona. Aby nie zaciemniać zapisu pokaże jak znaleźć sumę 1 + 2 + ... + n. Zauwazmy, że (k + 1)^2 - k^2 = 1 + 2k, zatem SUMA{((k + 1)^2 - k^2), 1 do n} = SUMA{(1 + 2k),1 do n} = n + 2SUMA{(k), 1 do n} () Z drugiej strony SUMA{((k + 1)^2 - k^2), 1 do n} = SUMA{((k + 1)^2), 1 do n} - SUMA{(k^2), 1 do n} () Zamienimy w pierwszej sumie po prawej stronie wskaźnik sumowania: SUMA{((k + 1)^2), 1 do n} = SUMA{(k^2), 2 do (n + 1)} Teraz zredukujemy po prawej stronie równości () wszystko co się da: (*) = (n + 1)^2 - 1 = n(n + 2) Teraz porównamy wynik () z (*) n + 2SUMA{(k), 1 do n} = n(n + 2) SUMA{(k), 1 do n} = (n(n + 2) - n) / 2 =n(n + 1) / 2 Mam nadzieję, że otzrymany wynik zgadza się ze wzorem z tablic! :-) Innym ciekawym sposobem znalezienia powyższej sumy jest metoda Gaussa 1 + 2 + ... + n = S n + (n - 1) + ... + 1 = S Po dodaniu stronami: n * (n + 1) = 2*S stąd S = n(n+1) / 2 Jak obliczyć zatem sumę zadaną w treści listu? Wystarczy postępować podobnie jak wyżej, z tymże musimy rozpatrzyć różnicę kolejnych sześcianów, tj. (k + 1)^3 - k^3 (będziemy potrzebować w pewnym momencie wzór na sumę, którą właśnie wyliczyliśmy). Proszę spróbować! W razie problemów i niejasności pytaj! -- Pozdrawiam Maciek Przybyła http://www.polsl.gliwice.pl/~mathew
Szymon Wąsowicz	Posted: 27 Mar 2001 16:52:12 Mecze sie od jakiegos czasu nad zadaniem : Jak wyglada wzor na sume wyrazenia: 1+4+9+16+...+n^2 ? 1+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 Teraz juz wystarczy indukcja... Jak sie dochodzi do takich rezultatow, to juz inna sprawa. Niestety w tej westii mam marna wiedze, dlatego nie pomoge Ci... W książce "Matematyka konkretna" Grahama, Knutha i Patashnika na stronie 59 znajdziemy paragraf 2.5 w całości poświęcony obliczeniu tej sumy. Podano tam 7 sposobów, przy czym jeden to "znajdź w książce", a drugi - zgadnij i udowodnij przez indukcję. Reszta nie odwołuje się do zgadywania ani indukcji. Zasady podane w rozdziałach 1 i 2 tej książki pozwalają także na rozwiązywanie innych rekurencji, w szczególności można tymi metodami łatwo dostać wzory na sumy k-tych potęg n początkowych liczb naturalnych. -- Serdecznie pozdrawiam, Szymek
J.F.	Posted: 28 Mar 2001 20:37:29 1+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 Teraz juz wystarczy indukcja... Jak sie dochodzi do takich rezultatow, to juz inna sprawa. Niestety w tej westii mam marna wiedze, dlatego nie pomoge Ci... Najtrudniejsze jest jednak dojsc do takiego wzoru, bo nikt nie uzna takiego sposobu. A bo to malo zadan w podrecznikach jest rozwiazanych metoda "zauwazmy ze ...." ? :-) Wskazowka natury ogolnej: wezmy funkcje f(x) [w naszym przypadku S(n)] i spiszmy jej wartosci dla ciagu rownoodleglych x [u nas: dla n=1,2,3,4...] Odejmijmy sasiednie wartosci. Jesli nie widac nic ciekawego - odejmijmy sasiednie roznice. I tak pare razy. Jesli stale wyniki pojawily sie juz po pierwszym odejmowaniu - jest to funkcja liniowa, jesli po drugim - kwadratowa, jesli po n-tym - jest to wielomian stopnia n. Poniewaz u nas S(n+1)-S(n)= (n+1)^2 to albo stosujac powyzsza regule, albo znajac jej skutki mozna od razu dojsc ze szukamy wielomianu stopnia 3. Dalej juz jest duzo latwiej :-) J.


° Forum ° Odpowiedz ° Rejestracja ° Szukaj °