Matematyka dyskretna - klasa abstrakcji

Matma / Matematyka dyskretna - klasa abstrakcji

Autor	Wiadomość
Mirek	Posted: 24 Mar 2001 20:24:49 Witam!!! Czy ktos moglby mi wyjasnic pojecie klasy abstrakcji oraz jej wlasciwosci. W poniedzialek mam egzamin i nie zdaze zalatwic sobie jakiejs ksiazki, a podobno klasa abstrakcji jest jednym z podstawowych pytan na tym egzaminie. Z gory bardzo dziekuje MIREK
alpha	Posted: 24 Mar 2001 21:29:51 Saturday, March 24, 2001, 9:24:49 PM, napisano: Witam!!! Czy ktos moglby mi wyjasnic pojecie klasy abstrakcji oraz jej wlasciwosci. W poniedzialek mam egzamin i nie zdaze zalatwic sobie jakiejs ksiazki, a podobno klasa abstrakcji jest jednym z podstawowych pytan na tym egzaminie. Z gory bardzo dziekuje MIREK relacje r in X x X nazywamy relacja rownowaznosci jesli: 1) dla kazdego x in X (x r x) 2) dla kazdego x in X i dla kazdego y in X (y r x) = (x r y) 3) dla kazdego x in X i dla kazdego y in X i dla kazdego z in X (x r y) i (y r z) = (x r z) natomiast: Def kalsy abstrakcji: Niech r bedzie realcja rownowaznosci w (X x X) i niech a in X Zbior [a]={x in X : (x r a)} nazywamy klasa abstrakcji elementu a; W sumie to znam jedno twierdzenie: Niech r bedzie realcja rownowaznosci w (X x X) i niech a in X. Dowolne dwie klasy abstrakcji w tej relacji sa albo identyczne albo rozlaczne czyli: dla kazdego a,b in X : Jezeli: iloczyn([a],[b]) rozne od zbioru pustego to: [a]=[b]; pozdrawiam ......... alpha .................................. ............................................ ............................................
Szymon Wąsowicz	Posted: 24 Mar 2001 22:01:31 [...] Def kalsy abstrakcji: Niech r bedzie realcja rownowaznosci w (X x X) i niech a in X Zbior [a]={x in X : (x r a)} nazywamy klasa abstrakcji elementu a; W sumie to znam jedno twierdzenie: Niech r bedzie realcja rownowaznosci w (X x X) i niech a in X. Dowolne dwie klasy abstrakcji w tej relacji sa albo identyczne albo rozlaczne czyli: dla kazdego a,b in X : Jezeli: iloczyn([a],[b]) rozne od zbioru pustego to: [a]=[b]; Można też pokazać, że [a]=[b] <== a r b. Teraz podam przykład. Weźmy taką relację w zbiorze liczb całkowitych Z: x r y <== 5\|(x-y) (tzn. x-y jest podzielne przez 5). Sprawdzenie, że jest to relacja równoważności, pozostawiam Mirkowi. [0] = {x : x r 0} = {x : 5\|x} - zbiór wszystkich liczb podzielnych przez 5; [1] = {x : x r 1} = {x : 5\|(x-1)} Liczba x-1 jest podzielna przez 5, jeśli istnieje takie k całkowite, że x-1 = 5k, tj. x = 5k+1. Zatem x daje przy dzieleniu przez 5 resztę 1. Stąd [1] = {5k+1 : kin Z}. Podobnie [2] = {5k+2 : kin Z}, [3] = {5k+3 : kin Z}, [4] = {5k+4 : kin Z}. Skoro 5 r 0, to [5]=[0]. Podobnie [6]=[1], [7]=[2] itd. Razem jest więc w tej relacji 5 klas abstrakcji (związanych z resztami dawanymi przez liczby całkowite przy dzieleniu przez 5). Inny przykład do samodzielnego rozpracowania: niech x,y0. Określamy następującą relację R: xRy <== y=x*2^n dla pewnego nin Z. Należy sprawdzić, że jest to relacja równoważności oraz wyznaczyć klasy abstrakcji. Może dodam wskazówkę: należy pokazać, że każda liczba xin [1,2) wyznacza pewną klasę abstrakcji, a każde dwie klasy wyznaczone przez różne liczby x,y należące do [1,2) są rozłączne. Ponadto klasy wyznaczone przez elementy [1,2) to już wszystkie klasy abstrakcji w tej relacji. Pytanie dodatkowe: czy są jeszcze inne przedziały mające tę samą, jak [1,2), własność? -- Serdecznie pozdrawiam, Szymek
Mirek	Posted: 25 Mar 2001 18:52:04 Bardzo dziekuje za odpowiedzi na moje pytanie. Wiele mi to wyjasnilo. MIREK
Marek Szyjewski	Posted: 3 Kwi 2001 19:59:03 [ciach] W sumie to znam jedno twierdzenie: Niech r bedzie realcja rownowaznosci w (X x X) i niech a in X. Dowolne dwie klasy abstrakcji w tej relacji sa albo identyczne albo rozlaczne czyli: dla kazdego a,b in X : Jezeli: iloczyn([a],[b]) rozne od zbioru pustego to: [a]=[b]; pozdrawiam ......... alpha .................................. O ile mi wiadomo, to na dodatek kazdy element zbioru X (w ktorym okreslona jest relacja rownowaznosci) nalezy do pewnej (np. swojej) klasy, wiec klasy abstrakcji tworza ROZBICIE zbioru X - przedstawienie go jako sumy parami rozlacznych podzbiorow. Nastepnie kazde rozbicie zbioru X wyznacza w nim relacje rownowaznosci, dla ktorej elementy rozbicia sa klasami abstrakcji: jesli X = suma zbiorow U_i dla i in I i jesli i jest rozne od j, to U_i i U_j sa rozlaczne to a r b <== a,b leza w tym samym zbiorze sposrod U_i jest relacja rownowaznosci, a jej klasami abstrakcji sa zbiory U_i. Z powazaniem Marek Szyjewski My, samotnicy, powinnismy trzymac sie razem!
Marek Szyjewski	Posted: 3 Kwi 2001 20:04:51 On Sat, 24 Mar 2001 23:53:55 +0100, "Maciek Przybyła" [ciach] Zbiór Vitaliego V jest zbiorem, który z każdą klasą abstrakcji relacji fQ ma dokładnie jeden punkt wspólny (możliwe na mocy lematu Kuratowskiego-Zorna). -- Pozdrawiam Maciek Przybyła Po co lemat Kuratowskiego-Zorna, jesli istnienie takiego zbioru daje wprost pewnik wyboru? Z powazaniem Marek Szyjewski My, samotnicy, powinnismy trzymac sie razem!


° Forum ° Rejestracja ° Szukaj °