  |
|
| ° Forum ° Odpowiedz ° Rejestracja ° Szukaj ° | |
| samochody ciężarowe ° Auto giełda ° Sprzedam motocykle ° |
|
|
| ° Forum ° Odpowiedz ° Rejestracja ° Szukaj ° | |
| samochody ciężarowe ° Auto giełda ° Sprzedam motocykle ° |
 |
Matma / Suma do oszacowania |
| << . 1 . 2 . |
| Autor | Wiadomość |
| Posted: 15 Mar 2001 23:18:54 Michal Misiurewicz: Niech f: [a, b] - [a, b], oraz |f(x) - f(y)| <= |x - y| wtedy istnieje x należący do [a, b] taki, że x = f(x). Ponadto x jest granicą następującego ciągu rekurencyjnego: x(n + 1) = (x(n) + f(x(n))) / 2, przy czym x(0) jest dowolną liczbą z przedziału [a, b]. Zalozmy, ze f(x(n))=x(n). Poniewaz |f(x(n+1))-f(x(n))|<=|x(n+1)-x(n)|=|x(n+1)-f(x(n))|, mamy f(x(n+1))=x(n+1) (radze zrobic rysunek). Michale, niektorzy z nas sa/ na rysunek za leniwi :-) (Albo nie maja zatemperowanego olowka, albo...) Podobnie,
jesli f(x(n))<=x(n), to f(x(n+1))<=x(n+1). Ciag x(n) jest wiec monotoniczny i ograniczony, a wiec zbiezny. Jego granica jest (z ciaglosci f) punktem stalym. Pozdrowienia, Michal Ladnie. Chociaz stala Lipschitza 1 (jeden) moze kojarzyc sie z twierdzeniem Banacha o punkcie stalym, to jednak u Banacha stala musi byc **mniejsza** od 1. Jest to ogromna roznica. nie o twierdzenie Banacha tu chodzi. W danym wypadku waznym jest, ze mamy doczynienia z odcinkiem. Podobny argument dzialalby takze dla drzew, i to nawet nieskonczonych drzew, ale nie zawierajacych nieskonczonej polprostej (kombinatorycznej polprostej, na ktorej by byl nieskonczony ciag wierzcholkow grafu). Tego typu twierdzenie o punkcie stalym w jeszcze o wiele wiekszej ogolnosci bylo sformulowane i dowiedzione przez G.S.Younga w 1946r, a potem, w mniejszej ogolnosci, innymi metodami, przez K.Borsuka. Pod wplywem pracy tego ostatniego, zdublowalem w duzej mierze definicje i wyniki Younga (zorientowalem sie w poznym stadium redagowania) i uzyskalem dodatkowe. Przede wszystkim wynik sformulowalem w postaci istnienia zwycieskiej strategii w pewnej grze. Bez wprowadzania samej gry wyjasnie na powyzszym przykladzie Krasnosielskiego o co chodzi, dlaczego wlasnie tak dochodzi sie do punktu stalego. W zasadzie Twoj dowod, Michale, pokazuje o co chodzi, dodam tylko komentarz. Strategia jest strategia upartego buldoga, ktory zuje, czyniac postep pomalu, bez pospiechu, tak by mu sie nagroda nie wymknela, nie uciekla: Zeby bylo jasniej, zrelaksuje zalozenie Krasnosielskiego i uogolnie jego konstrukcje/. Niech stala Lipschitza C 0 bedzie dowolna (chocby i milion :-), serio, podstawcie sobie 1000000 za C, zeby lepiej widziec o co chodzi), t.zn. niech: |f(x) - f(y)| < C*|x - y| dla dowolnych x y in [a;b] Niech x(0) in [a;b] bedzie dowolne. Niech: x(n+1) := x(n) + (f(x(n)) - x(n))/(C+1) dla n = 0 1 ... Krasnosielski napisalby to bardziej elegancko (rownowaznie): x(n+1) := (C/(C+1))*(C+1x(n) + (1/(C+1))*(f(x(n)) - x(n)) ale chcialem podkreslic nature poscigu x za f: gdy x zlapie f, to bedzie punkt staly, buldog bez pudla dotrze do serca ofiary. Chodzi o to, ze x przybliza sie do f ostroznie, tak ostroznie, ze jakby to Michal wykazal, f jest za wolne, zeby przerzucic sie na druga/ strone x (!!). Tak wiec f przed x moze co najwyzej wycofywac sie. nawet gdy walczy do upadlego, to w koncu oprze sie plecami o sciane czyli o koniec odcinka. Zmienna x jak buldog, zuje odcinek pomiedzy soba/ a f: x(0) x(1) x(2) ... Pozdrawiam, Wlodek |
|
| Posted: 17 Mar 2001 10:59:03 -- Napisalem (wh): [...] niech:
|f(x) - f(y)| < C*|x - y| dla dowolnych x y in [a;b] Niech x(0) in [a;b] bedzie dowolne. Niech: x(n+1) := x(n) + (f(x(n)) - x(n))/(C+1) dla n = 0 1 ... Krasnosielski napisalby to bardziej elegancko (rownowaznie): x(n+1) := (C/(C+1))*(C+1x(n) + (1/(C+1))*(f(x(n)) - x(n)) Ostatnia linijka nie byla do niczego potrzebna, napisalem ja/ tylko ot tak sobie. Dla spokoju ducha usune z niej halas, ktory sie do niej zakradl. owinna wygladac nastepujaco: x(n+1) := (C/(C+1))*x(n) + (1/(C+1))*(f(x(n)) - x(n)) Teraz nawet lepiej sie miesci w ramach jednej linijki :-) Przepraszam, pozdrawiam, Wlodek |
|
| Michal Misiurewicz
|
Posted: 17 Mar 2001 18:50:59 Chodzi o to, ze x przybliza sie do f ostroznie, tak ostroznie,
ze jakby to Michal wykazal, f jest za wolne, zeby przerzucic sie na druga/ strone x (!!). Tak wiec f przed x moze co najwyzej wycofywac sie. nawet gdy walczy do upadlego, to w koncu oprze sie plecami o sciane czyli o koniec odcinka. Zmienna x jak buldog, zuje odcinek pomiedzy soba/ a f: x(0) x(1) x(2) ... Mozna jeszcze dodac, ze jesli funkcja jest po prostu ciagla, ale niekoniecznie lipschitzowska, nie mamy tak ladnego oszacowania dla kroku i musimy posluzyc sie czasem ciaglym. Mowiac jezykiem rozniczkowym, bierzemy pole wektorow o dlugosci 1 skierowanych od x w kierunku f(x) (pod warunkiem, ze f(x)<x) i idziemy wzdluz trajektorii tego pola. Ta procedura jest nieco klopotliwa jesli chce sie ja opisac scisle, wiec autorzy poslugujacy sie nia zazwyczaj mowia o "x goniacym f(x)". Pozdrowienia, Michal |
| << . 1 . 2 . |