  |
|
| ° Forum ° Rejestracja ° Szukaj ° | |
| Auto giełda ° wnętrzowe stacje transformatowe |
 |
Matma / Kilka pytan dot. liczb zespolonych |
| Autor | Wiadomość |
| Marcin Krzyzanowski
|
Posted: 12 Mar 2001 18:01:58 Witam Czy podnoszac do potegi niewymiernej dowolna liczbe zespolona zawsze otrzymamy nieskonczenie wiele wynikow wyrazajacych sie liczbami zespolonymi? W jaki sposob podnosi sie liczby do potegi zespolonej np e^i ? I co wlasciwie oznacza taki zapis jak np e^i ? Potegi o wartosciach rzeczywistych mozna sobie jakos wyobrazic ale z potegami urojonymi nie jest tak latwo. I ostatnie pytanie. Czy istnieje silnia z liczby urojonej np (4i)! ? Pozdrawiam Marcin |
| Posted: 13 Mar 2001 12:47:57 Witam
Czy podnoszac do potegi niewymiernej dowolna liczbe zespolona zawsze otrzymamy nieskonczenie wiele wynikow wyrazajacych sie liczbami zespolonymi? Tak, a na dodatek zachodzi to nawet dla liczb rzeczywistych. Np. 5^pi daje nieskonczenie wiele wartosci. W jaki sposob podnosi sie liczby do potegi zespolonej np e^i ? I co
wlasciwie oznacza taki zapis jak np e^i ? Funkcje e^(.) okreslona dla dziedziny rzeczywistej mozna przedstawic w postaci nieskonczonego szeregu potegowego, ktory jest zbiezny dla kazdego argumentu. Mozna tez pokazac ze jest zbiezny dla dowolnego argumentu zespolonego i jako wartosc e^z przyjac wartosc tego szeregu. W szczegolnosci mozna pokazac, ze tak zdefiniowane uogolnienie funkcji wykladniczej spelna rownanie e^(z1+z2) = e^z1 * e^z2, takie samo jak dla dziedziny rzeczywistej. W szczegolnosci e^(x+iy) = e^x * e^(iy). e^x obliczamy "normalnie", natomiast dla drugiego czlonu mozna wykazac (chociazby przez sprawdzenie odpowiednich szeregow), ze: e^(iy) = cos(y) + i*sin(y) W ten sposob mamy juz praktyczne przepisy na obliczanie e^z, np. e^i = cos(1) + i*sin(1) Potegi o wartosciach rzeczywistych mozna sobie jakos wyobrazic ale z potegami urojonymi nie jest tak latwo.
I ostatnie pytanie. Czy istnieje silnia z liczby urojonej np (4i)! ? Istnieje funkcja zdefiniowana za pomoca pewnego wyrazenia calkowego z parametrem x, ktora dla x=n przyjmuje wartosci n!. Funkcja ta nosi nazwe funkcji gamma Eulera i daje sie latwo uogolnic na funkcje od (prawie) dowolnego parametru zespolonego. Jesli wiec przyjac ze uogolnieniem silni jest funkcja gamma Eulera to nie ma przeszkody w okresleniu (4i)!. Pozdrowienia, Waldzio. |