matematyka
 ° Forum ° Rejestracja ° Szukaj °
Auto giełda ° wnętrzowe stacje transformatowe

Kilka pytan dot. liczb zespolonych

Matma / Kilka pytan dot. liczb zespolonych
Autor Wiadomość
Marcin Krzyzanowski

Posted: 12 Mar 2001 18:01:58



Witam

Czy podnoszac do potegi niewymiernej dowolna liczbe zespolona zawsze
otrzymamy nieskonczenie wiele wynikow wyrazajacych sie liczbami zespolonymi?
W jaki sposob podnosi sie liczby do potegi zespolonej np e^i ? I co
wlasciwie oznacza taki zapis jak np e^i ? Potegi o wartosciach rzeczywistych
mozna sobie jakos wyobrazic ale z potegami urojonymi nie jest tak latwo.
I ostatnie pytanie. Czy istnieje silnia z liczby urojonej np (4i)! ?

Pozdrawiam
Marcin








Posted: 13 Mar 2001 12:47:57



Witam

Czy podnoszac do potegi niewymiernej dowolna liczbe zespolona zawsze
otrzymamy nieskonczenie wiele wynikow wyrazajacych sie liczbami zespolonymi?

Tak, a na dodatek zachodzi to nawet dla liczb rzeczywistych. Np. 5^pi
daje nieskonczenie wiele wartosci.

W jaki sposob podnosi sie liczby do potegi zespolonej np e^i ? I co
wlasciwie oznacza taki zapis jak np e^i ?

Funkcje e^(.) okreslona dla dziedziny rzeczywistej mozna przedstawic w
postaci nieskonczonego szeregu potegowego, ktory jest zbiezny dla kazdego
argumentu. Mozna tez pokazac ze jest zbiezny dla dowolnego argumentu
zespolonego i jako wartosc e^z przyjac wartosc tego szeregu.

W szczegolnosci mozna pokazac, ze tak zdefiniowane uogolnienie funkcji
wykladniczej spelna rownanie e^(z1+z2) = e^z1 * e^z2, takie samo
jak dla dziedziny rzeczywistej. W szczegolnosci e^(x+iy) = e^x * e^(iy).

e^x obliczamy "normalnie", natomiast dla drugiego czlonu mozna wykazac
(chociazby przez sprawdzenie odpowiednich szeregow), ze:

e^(iy) = cos(y) + i*sin(y)

W ten sposob mamy juz praktyczne przepisy na obliczanie e^z, np.
e^i = cos(1) + i*sin(1)

Potegi o wartosciach rzeczywistych
mozna sobie jakos wyobrazic ale z potegami urojonymi nie jest tak latwo.
I ostatnie pytanie. Czy istnieje silnia z liczby urojonej np (4i)! ?


Istnieje funkcja zdefiniowana za pomoca pewnego wyrazenia calkowego
z parametrem x, ktora dla x=n przyjmuje wartosci n!. Funkcja ta nosi
nazwe funkcji gamma Eulera i daje sie latwo uogolnic na funkcje
od (prawie) dowolnego parametru zespolonego. Jesli wiec przyjac
ze uogolnieniem silni jest funkcja gamma Eulera to nie ma przeszkody
w okresleniu (4i)!.

Pozdrowienia, Waldzio.





 


Czas ładowania strony (sek.): 0.008
miniBB.net © 2001-2012 transport vesto ekonomia ultimal knizki
  • Luty przygniata Polskę

  • Antarktyda się cieli
  • Potężna góra lodowa odrywa się od lodowca Pine Island w zachodniej Antarktydzie
  • Życie też jest niezdrowe