2^k=3^n+1 ==> (k n) = (0 1) lub (2 1)

Matma / 2^k=3^n+1 ==> (k n) = (0 1) lub (2 1)

Autor	Wiadomość
	Posted: 12 Mar 2001 09:46:49 W kontekscie zlozonosci (1 + ) Jarek przypuszczal, ze istnieja wielkie liczby naturalne k i n takie, ze 2^k = 3^n + 1. Pokaze, ze nie ma tak dobrze, ze problem zn(2^k) = 2k (?) nie jest tak latwy. Napiszmy rownanie w formie: 2^k - 1 = 3^n Zalozmy, ze n1. Wtedy k musi byc parzyste (by 2^k-1 bylo podzielne przez 3). Wtedy k=2t dla pewnego naturalnego t, oraz: 2^k - 1 = (2^t-1)(2^t+1) jest iloczynem dwoch czynnikow, ktore roznia sie o 2. Wiec oba nie moga byc podzielne przez 3. Zatem jeden z nich powinien byc = 1, by iloczyn byl postaci 3^n. Zatem 2^t-1 = 1 czyli t=0, skad k=0. Sprzecznosc. Pozdrawiam, Wlodek
	Posted: 12 Mar 2001 21:51:00 Marcin Kowalczyk: W kontekscie zlozonosci (1 + ) Jarek przypuszczal, ze istnieja wielkie liczby naturalne k i n takie, ze 2^k = 3^n + 1. Zawsze byłem ciekaw, jak bardzo zbliżają się do siebie potęgi dwójki i trójki. Na przykład czy istnieje taka liczba d, że dla nieskończenie wielu potęg dwójki istnieje potęga trójki leżąca od niej nie dalej niż d? Jeśli tak, to jaka jest najmniejsze takie d? Bo na oko strzelałbym, że nie istnieje. -- __ Marcin Kowalczyk Pytania takie i znacznie ogolniejsze i trudniejsze stawia, bada i rozwiazuje sie w obszernej dziedzinie teorii liczb, obejmujacej teorie liczb transcendentalnych, aproksymacje diofantyczne i teorie rownan diofantycznych. Maja one znaczenie z kolei dla dalszych dzialow teorii liczb jak algebraiczna teoria liczb i funkcje eliptyczne. Powyzsze pytanie tlumaczy sie na wartosci kombinacji liniowych tylko dwoch logarytmow, log(2) i log(3). Wypadek dwoch logarytmow liczb algerbraicznych byl rozpatrywany juz przez wielkiego teorioliczbowca z przeszlosci (dla mnie z niedawnej przeszlosci) Gelfonda -- prosze nie mylic go z innym wielkim matematykiem I.M. Gelfandem. Nie znam detali pracy Gelfonda, wiec na wszelki wypadek powolam sie na Alana Bakera, wyjatkowo silnego matematyka, ktory dokonal rewolucji w Teorii Liczb bez wprowadzenia pojec i technik, ktore by byly tak nowe, jak tego zwykle spodziewamy sie po tak ogromnych osiagnieciach. Jak uwaza Peter Weinberger, Baker prawdopodobnie byl po prostu o wiele silniejszym matematykiem od wszystkich pozostalych wielkich gwiazd teorii liczb z okresu, kiedy uzyskal swoje wyniki. W kazdym razie, jako malutki wniosek z prac Bakera, otrzymujemy nierownosc: (i) \|nlog(2) - klog(3)\| 1/(max(2 \|n\| \|k\|))^C, dla calkowitych n k, nie rownych jednosczesnie 0, gdzie Baker konkretnie podal wartosc C (w o wiele ogolniejszym przypadku). Popatrzmy teraz na nierownosc: < \|2^n - 3^k\| < D D - stala. Oznacza ona, ze dla E = E(k n) := \|2^n - 3^k\| mamy E < D oraz: 3^k = 2^n + E lub 2^n = 3^ + E Zajme sie tylko pierwszym przypadkiem 3^k 2^n (drugi jest podobny): klog(3) = nlog(2) + log(1 + E/2^n) < nlog(2) + E/2^n Tak wiec ( w tym wypadku): (ii) \|klog(3) - nlog(2)\| < D/2^n Z nierownosci (i) (ii) dostajemy: Ale jaka STALA C by nie byla, nierownosc: (iii) 1/(max(2 \|n\| \|k\|))^C < D/2^n Gdy n jest wielka liczba naturalna, to k jest z grubsza rowne nlog(2)/log(3). Zatem naprawde juz latwo jest pokazac, ze nierownosc (iii) ma skonczenie wiele rozwiazan, i podac konkretne ograniczenie z gory na n oraz k. Ale te rozwiazania i rozwiazania gdy 2^n 3^k, o podobnym zakresie, zawieraja/ wszystkie rozwiazania wyjsciowej nierownosci <*. jest ich wiec skonczona liczba, przy czym mozna podac konkretne ograniczenie z gory. Pozdrawiam, Wlodek
J.F.	Posted: 13 Mar 2001 21:38:00 W kontekscie zlozonosci (1 + ) Jarek przypuszczal, ze istnieja wielkie liczby naturalne k i n takie, ze 2^k = 3^n + 1. 2^k - 1 = 3^n Zalozmy, ze n1. Wtedy k musi byc parzyste (by 2^k-1 bylo podzielne przez 3). Wtedy k=2t dla pewnego naturalnego t, oraz: 2^k - 1 = (2^t-1)*(2^t+1) jest iloczynem dwoch czynnikow, ktore roznia sie o 2. Wiec oba nie moga byc podzielne przez 3. No tak. W dodatku dalej nam sie moze 2^t-1 rozlozyc zostawiajac kolejny "wredny" czynnik typu 2^u+1 . Z drugiej strony - roznica miedzy 2^k a 3^n wcale nie musi byc 1, a moze byc bliskie 3^m. Ale jak sobie zapisalem kolejne potegi 2 w systemie trojkowym ... burdel tam jest, sporo cyfr 1 i 2 widac. Nie tedy droga ... Ale byc moze dalo by sie dobrac dwie [lub wiecej] takie liczby "oszczedne" w zapisie trojkowym ze ich iloczyn przypomina potege dwojki .. J.
J.F.	Posted: 13 Mar 2001 21:38:01 Zawsze byłem ciekaw, jak bardzo zbliżają się do siebie potęgi dwójki i trójki. Na przykład czy istnieje taka liczba d, że dla nieskończenie wielu potęg dwójki istnieje potęga trójki leżąca od niej nie dalej niż d? Jeśli tak, to jaka jest najmniejsze takie d? Bo na oko strzelałbym, że nie istnieje. Musisz przeformulowac pytanie - bo istnieje. 3^1-2^1 = 1 :-) Ale chyba masz racje - tendencja jest generalnie rosnaca.. J.


° Forum ° Rejestracja ° Szukaj °