  |
|
| ° Forum ° Rejestracja ° Szukaj ° | |
| Auto giełda ° wnętrzowe stacje transformatowe |
 |
Matma / zadanie z konkursu kangur 2000 |
| Autor | Wiadomość |
| hirudo
|
Posted: 11 Mar 2001 15:43:13 Prosze o pomoc w rozwiazaniu tego zadanka z kangura 2000: Ile jest dodatnich liczb calkowitych, ktorych najwiekszy dzielnik wlasciwy (tzn. dzielnik rozny od 1 i od danej liczby) wynosi 91? Prawidlowa odpowiedz: 4, ale jak do tego dojsc????? Dzieki z gory za pomoc! |
| Marcin Jelen
|
Posted: 11 Mar 2001 17:35:41 Prawidlowa odpowiedz: 4, ale jak do tego dojsc?????
Wydaje mi sie to proste, ale moglem sie pomylic w rozumowaniu... Moja teoria opiera sie na rozkladzie (nie wiem jak to sie nazywa, sorki), w kazdym razie polega na tym, ze dzielimy dana liczbe przez dwa (lub trzy, lub piec, lub 7... jezeli przez poprzednia sie nie da) az do samego konca, rozkladajac dana liczbe na czynniki pierwsze do 1. 91=7*13 Wiec pierwsza szukana liczba bedzie 7*13*2=182 nastepna: 7*13*3=273 nastepna 7*13*5=455 nastepna 7*13*7=637 ale nastepna 7*13*11=1001 juz nie spelnia zalozen, bo jej najwiekszym dzielnikiem wlasciwym bedzie 13*11=143. I na tym koniec, to wlasnie te cztery szukane liczby: 182, 273, 455, 637. Mozna sie jeszcze zapytac, co sie dzieje w przypadku: 7*13*4=182*2 czyli wowczas najwiekszym wlasciwym dzielnikiem jest 182, podobnie 7*13*6 =273*3... itd. Mam nadzieje, ze moje rozwiazanie jest poprawne i pelne, no i przepraszam za usterki stylistyczne. Marcin. |
| J.F.
|
Posted: 11 Mar 2001 23:09:55 Prosze o pomoc w rozwiazaniu tego zadanka z kangura 2000:
Ile jest dodatnich liczb calkowitych, ktorych najwiekszy dzielnik wlasciwy (tzn. dzielnik rozny od 1 i od danej liczby) wynosi 91? Prawidlowa odpowiedz: 4, ale jak do tego dojsc????? 91=7*13 nasza liczba skoro podzielna przez 91, to musi byc rowna 7*13*a1*a2*a3*...*an, gdzie a1..an sa czynnikami pierwszymi. Dowolna kombinacja wybrana sposrod tych czynnikow jest tez dzielnikiem liczby. Nie moze byc ich wiecej niz 1, bo wtedy kombinacja 7*13*a1, lub 7*13*a2 jest dzielnikiem wiekszym niz 91. ale 13*a1 tez jest dzielnikiem, wiec a1 nie moze byc wieksze niz 7. No to mamy do wyboru: 2,3,5,7 .. J. |
| Marek Szyjewski
|
Posted: 14 Mar 2001 16:57:16 Prawidlowa odpowiedz: 4, ale jak do tego dojsc?????
Wydaje mi sie to proste, ale moglem sie pomylic w rozumowaniu... Moja teoria opiera sie na rozkladzie (nie wiem jak to sie nazywa, sorki), w kazdym razie polega na tym, ze dzielimy dana liczbe przez dwa (lub trzy, lub piec, lub 7... jezeli przez poprzednia sie nie da) az do samego konca, rozkladajac dana liczbe na czynniki pierwsze do 1. To sie nazywa rozkladanie na czynniki pierwsze. 91=7*13 A to sie nazywa rozklad na czynniki pierwsze. Wiec pierwsza szukana liczba bedzie 7*13*2=182 nastepna: 7*13*3=273 nastepna 7*13*5=455 nastepna 7*13*7=637 ale nastepna 7*13*11=1001 juz nie spelnia zalozen, bo jej najwiekszym dzielnikiem wlasciwym bedzie 13*11=143. I na tym koniec, to wlasnie te cztery szukane liczby: 182, 273, 455, 637. Mozna sie jeszcze zapytac, co sie dzieje w przypadku: 7*13*4=182*2 czyli wowczas najwiekszym wlasciwym dzielnikiem jest 182, podobnie 7*13*6 =273*3... itd. Mam nadzieje, ze moje rozwiazanie jest poprawne i pelne, no i przepraszam za usterki stylistyczne. Marcin. Hmmm... troche to nieprzemyslane... Jakbys po obliczeniach zobaczyl, ze cos wypada uzasadnic, ale nie mial checi do tego uzasadniania. Ale chodzi o wykorzystanie rozkladu na czynniki pierwsze. Po pierwsze rzeczywiscie 91 = 7*13. Po drugie szukane liczby sa postaci a*91, bo 91 ma byc ich dzielnikiem. Po trzecie gdyby a bylo liczba zlozona, a = b*c z b1 i c1, to wiekszym od 91 wlasciwym dzielnikiem liczby a*91 bylaby liczba b*91, wiec a musi byc liczba pierwsza. Po czwarte gdyby a bylo liczba pierwsza wieksza od 7, to a*13 byloby dzielnikiem wlasciwym wiekszym od 7*13, wiec a musi byc liczba pierwsza nie przekraczajaca 7. Jesli a jest liczba pierwsza nie przekraczajaca 7 (czyli 2, 3, 5 lub 7), to najwiekszym dzielnikiem wlasciwym a*91 jest 7*13. Ostatecznie sa tylko cztery takie liczby: 2*91, 3*91, 5*91, 7*91. Z powazaniem Marek Szyjewski My, samotnicy, powinnismy trzymac sie razem! |