Co to jest ?

Matma / Co to jest ?

Autor	Wiadomość
Wojtek Gnoinski	Posted: 9 Mar 2001 20:42:26 Przestrzeń rzutowa nieskończenie wielowymiarowa. /zespolona/ Zapewne występuje w analizie funkcjonalnej jako ... lub szczególny przypadek ... Będę wdzięczny za podpowiedż. Wojtek
Marek Szyjewski	Posted: 14 Mar 2001 15:45:39 Przestrzeń rzutowa nieskończenie wielowymiarowa. /zespolona/ Zapewne występuje w analizie funkcjonalnej jako ... lub szczególny przypadek ... Będę wdzięczny za podpowiedż. Wojtek Niech C bedzie cialem liczb zespolonych. Zbior C^(infty) ciagow liczb zespolonych o prawie wszystkich wyrazach rownych 0 jest przestrzenia wektorowa nad C. Wyrzucamy z niej ciag staly heta o wyrazach rownych 0 (wektor zerowy) i w zbiorze C^(infty) ( heta} wprowadzamy relacje rownowaznosci: a ~b gdy istnieje niezerowa liczba zespolona z taka, ze a = zb. Latwo sprawdzic, ze jest to relacja rownowaznosci. Punktami zespolonej przestrzeni rzutowej nieskonczonego wymiaru CP^(infty) sa klasy abstrakcji tej relacji. Innymi slowy, punktami tej przestrzeni rzutowej sa proste (dziurawe) przechodzace przez poczatek ukladu wspolrzednych w C^(infty). (Uwaga! Prosta nad C^1 cialem liczb zespolonych z "rzeczywistego" - czyli topologicznego - punktu widzenia jest plaszczyzna. Nazywa sie ja plaszczyzna zespolona, choc jako twor zespolony jest ona prosta, a plaszczyzna jest jako twor nad "rzeczywisty", tzn. nad cialem liczb rzeczywistych...) Punkt przestrzeni CP^(infty) - bedac "tak naprawde" prosta przechodzaca przez poczatek ukladu wspolrzednych, jest wyznaczony przez podanie dowolnego innego punktu, przez ktory ta prosta przechodzi. Jesli tym punktem jest ciag liczb zespolonych (a_n) (a_n = 0 dla p.w. n), to ma on byc rozny od heta = (0,0,..,0,...), czyli musi miec choc jedna wspolrzedna a_k rozna od 0. Zatem punkt przestrzeni CP^(infty) jest wyznaczony przez ciag (a_n) liczb zespolonych, nie wszystkich rowqnych 0, ale prawie wszystkich rownych 0. Proporcjonalne (a_n) i (b_n) (tzn. takie, ze a_n = zb_n dla penego stalego, niezerowego z) wyznaczaja ten sam punkt przestrzeni rzutowej. W przestrzeni rzutowej CP^(infty) najczesciej rozwaza sie dwie struktury - strukture rozmaitosci algebraicznej i strukture topologiczna (nie tylko). Obie zadane sa przez pokrycie ciagiem podzbiorow U_n, z ktorych kazdy w naturalny sposob utozsamia sie z C^(infty). Mianowicie U_k = {(a_n) : a_k rozne od 0}. Z proporcjonalnych ciagow (a_n) reprezentujacych ten sam punkt w zbiorze U_k wybieramy jeden: b_n = a_n / a_k . Jego wspolrzedna o numerze k jest rowna 1. Zbior U_k utozsamiamy z C^(infty) przyporzadkowujac punktowi (b_n) in CP^(infty) takiemu, ze b_k =1 punkt (b_0,b_1,...,b_(k-1), b_(k+1), ...) in C^(infty). Np. struktura topologiczna w CP^(infty) okreslona jest tak: podzbior A jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy kazdy jego przekroj A cap U_k jest zbiorem otwartym w U_k (czyli w C^(infty) - przez opisane utozsamienie). Bardziej "uczenie": snop strukturalny (snop funkcji "dobrych" dla danej struktury (ciaglych - dla struktury topologicznej, funkcji wielomianowych - dla struktory rozmaitosci algebraicznej, funkcji gladkich dla struktory rozmaitosci gladkiej; funkcji holomorficznych dla struktury rozmaitosci analitycznej) powstaje ze snopow strukturalnych zbiorow U_k (czyli C^(infty)) przez sklejenie. Warto dodac, ze zbiory U_k nazywane sa bazowymi (albo glownymi) zbiorami otwartymi. Ich dopelnienia V_k = CP^(infty) U_k same sa przestrzeniami rzutowymi CP^(infty) ... Przestrzen CP^(infty) powstaje jako tzw. granica prosta zwyklych przestrzeni rzutowych. Przestrzenie rzutowe CP^n okresla sie tak samo, jak okreslilem wyzej, tylko nie z przestrzeni C^(infty), a z przestrzeni C^(n+1). Dzieki temu z definicji tych przestrzeni odpadaja zastrzezenia o prawie wszystkich wspolrzednych zerowych - wszystkich wspolrzednych jest skonczenie wiele, wiec niezerowych jest skonczenie wiele. W tym przypadku punkt przestrzeni CP^n wyznaczony przez (a_0,a_1,...,a_n) oznacza sie zwykle (a_0:a_1:...:a_n) - dwukropki oznaczaja, ze "liczy sie" tylko proporcja wspolrzednych, ze proporcjonalne oznaczaja ten sam punkt przestrzeni CP^n. W przestrzeni CP^(n+1) podzbior okreslony rownaniem x_(n+1) = 0 jest przestrzenia CP^n: (a_0:a_1:...:a_n) ------ (a_0:a_1:...:a_n:0) . Mozna wiec sobie wyobrazac wstepujacy lancuch przestrzeni rzutowych: CP^1 subset CP^2 subset ...subset CP^n subset CP^(n+1) subset ... I jego suma (unia) jest wlasnie CP^{infty}. Z powazaniem Marek Szyjewski My, samotnicy, powinnismy trzymac sie razem!


° Forum ° Rejestracja ° Szukaj °