  |
|
| ° Forum ° Odpowiedz ° Rejestracja ° Szukaj ° | |
| ° Magazynowanie ° Protetyka ° Auto giełda ° |
 |
Matma / Układy równań - jak to ugryźć? |
| Autor | Wiadomość |
| rybka
|
Posted: 6 Sty 2007 09:37:06 Ostatnio na ćwiczeniach zaczęliśmy rozwiązywać układy równań. Dziś sobie przysiadałam aby wykonać kilka zadań domowych. Wpierw przeanalizowałam kilka przykładów i mam kilka wątpliwości. Oto przykład zadania z lekcji: http://img206.imageshack.us/img206/6277/126fn6.jpg Mianowicie nie mam pojęcia skąd się wzięły symbole alfa oraz beta oraz znaki wyrażenia przy nich. Bardzo proszę o możliwie ładne wytłumaczenie mi na co zwracać uwagę przy tego typach równaniach. Najbardziej zaciekawiło mnie to alfa i beta. Z palca to wyssane nie jest. Pozdrawiam. |
| pisz na.mirek
|
Posted: 6 Sty 2007 14:10:21 Ostatnio na ćwiczeniach zaczęliśmy rozwiązywać układy równań. Dziś sobie
przysiadałam aby wykonać kilka zadań domowych. Wpierw przeanalizowałam kilka przykładów i mam kilka wątpliwości. Oto przykład zadania z lekcji: http://img206.imageshack.us/img206/6277/126fn6.jpg Mianowicie nie mam pojęcia skąd się wzięły symbole alfa oraz beta oraz znaki wyrażenia przy nich. Bardzo proszę o możliwie ładne wytłumaczenie mi na co zwracać uwagę przy tego typach równaniach. Najbardziej zaciekawiło mnie to alfa i beta. Z palca to wyssane nie jest. Pozdrawiam. 4 zmienne + 2 równania = układ nieoznaczony Jeżeli układ nie jest sprzeczny (a tu nie jest) to ma nieskończenie wiele rozwiązań, które można podać np. w postaci parmetrycznej - wprowadzają dodatkowe zmienne/równania. Co do tego konkretnego rozwiązania, to sądzę, że jest one błędne (chyba, że treść zadania zawierała jeszcze jakieś szczegóły). Mamy układ równań u=0 : (%i16) u:[x-y-z+t,2*x-2*y+4+z-t-1]$ Podstawiając rozwiązanie z kartki otrzymujemy: (%i17) ratsimp(u),y=a,z=b,t=-1/3+2*b,x=1/3+a-b; (%o17) [0, 4 - 3 b] co oznacza, że układ jest spełniony dla 4=3b (co nie wynika z twojej kartki). Moje podejście jest następujące - rozszerzamy układ równań wprowadzając parametryzację jak na kartce, czyli y=a i z=b: (%i20) ur:[x-y-z+t,2*x-2*y+4+z-t-1,y-a,z-b]$ co daje rozwiązanie: (%i21) sr:solve(ur,[x,y,z,t]); (%o21) [[x = a - 1, y = a, z = b, t = b + 1]] Dla sprawdzenia możemy podstawić rozwiązanie do układów u i ur: (%i23) ratsimp(u),sr; (%o23) [0, 0] (%i24) ratsimp(ur),sr; (%o24) [0, 0, 0, 0] czyli wszystko OK. |
| Dr.Endriu
|
Posted: 6 Sty 2007 14:32:51 co daje rozwiązanie:
(%i21) sr:solve(ur,[x,y,z,t]); (%o21) [[x = a - 1, y = a, z = b, t = b + 1]] Tak z ciekawości pytam..... Co daje nam takie rozwiązanie? x-y-z+t = 0 2x-2y+4z-t = 1 Czy dobrze sobie to tłumaczę... Jeżeli za a podstawimy cokolwiek i za b również, to: x = a - 1 y = a z = b t = b + 1 a na dodatek x,y,z,t będą spełniały ten układ równan ? -- Pozdrawiam Dr.Endriu nmp1(małpa)interia.pl http://nmp1.w.interia.pl |
| pisz na.mirek
|
Posted: 6 Sty 2007 17:13:06 co daje rozwiązanie:
(%i21) sr:solve(ur,[x,y,z,t]); (%o21) [[x = a - 1, y = a, z = b, t = b + 1]] Tak z ciekawości pytam..... Co daje nam takie rozwiązanie? Może nie było do końca po polsku: Rozwiązaniem rozszerzonego układu równań ur=0, jest wektor sr jak wyżej. x-y-z+t = 0
2x-2y+4z-t = 1 Plus dwa równania: y=a z=b Czy dobrze sobie to tłumaczę...
Jeżeli za a podstawimy cokolwiek i za b również, to: x = a - 1 y = a z = b t = b + 1 a na dodatek x,y,z,t będą spełniały ten układ równan ? Będą spełniały układy równań oryginalny i rozszerzony. Oczywiście (przynajmnie dla mnie :) zabieg z parametryzacją (rozszerzaniem układu równań) nie jest konieczny, ale czasem wygodny. Jakie parametryzacje są możliwe? Bo na przykład x=a,y=b nie, bo prowadzi do sprzecznego układu równań, a dokładniej ogranicza nam liczbę stopni swobody rozwiązania. Odpowiedź daje eliminowanie po kolei x,y,z,t z układu równań: (%i77) eliminate(u,[x]); (%o77) [3 (z - t + 1)] (%i78) eliminate(u,[y]); (%o78) [- 3 (z - t + 1)] (%i79) eliminate(u,[z]); (%o79) [3 (y - x - 1)] (%i80) eliminate(u,[t]); (%o80) [- 3 (y - x - 1)] Z czego wynika, że zmienne w parach x,y i z,t są zależne (dla wyjaśnienia, w przyjętym zapisie równania są postaci u=0, czyli prawa strona przeniesiona jest na lewo od znaku równości - więc np. wynik [3 (z - t + 1)] oznacza tu 3 (z - t + 1) = 0 ) Dysponując szerszym aparatem matematycznym można to sformułować czytelniej w oparciu o pojęcie (pod)przestrzeni zerowej macierzy A równania - tzn. takiej przestrzeni wektorów x, że A*x=0 http://en.wikipedia.org/wiki/Null_space http://www.sielu.mfjm.net/WZ%20gr%207/Algebra%20liniowa/algza.pdf - rodział 3 http://groups.google.pl/group/pl.comp.programming/browse_thread/thread/53a659951d08d1b8/f5ed185f228940d8 Dana macież: (%i21) a; [ 1 - 1 - 1 1 ] (%o21) [ ] [ 2 - 2 1 - 1 ] Wektory(baza) jej przestrzeni zerowej: (%i20) z:args(nullspace((a))); [ 0 ] [ 1 ] [ ] [ ] [ 0 ] [ 1 ] (%o20) [[ ], [ ]] [ 1 ] [ 0 ] [ ] [ ] [ 1 ] [ 0 ] Z każdego rozwiązania [x0,y0,z0,t0] naszego układu równań możemy uzyskać inne (spelniające też to równanie) dodająć dowolną kombinację powyższych wektorów - co zgadza się z wcześniejszym wynikiem. |