  |
|
| ° Forum ° Odpowiedz ° Rejestracja ° Szukaj ° | |
| samochody ciężarowe ° Auto giełda ° Sprzedam motocykle ° |
|
|
| ° Forum ° Odpowiedz ° Rejestracja ° Szukaj ° | |
| samochody ciężarowe ° Auto giełda ° Sprzedam motocykle ° |
 |
Matma / całka: x*tg(x) po dx |
| Autor | Wiadomość |
| Posted: 23 Sty 2001 19:32:02 Mam problem z policzeniem całki: x*tg(x) po dx. Chodzi mi o pełne rozwiązanie, krok po kroku. Problem jest na tyle istotny, że ten kto go rozwiąże może śmiało zgłaszać się do mnie po nagrodę :) Z góry dziękuję. |
|
| Krzysztof Parzyszek
|
Posted: 24 Sty 2001 15:50:51 Mam problem z policzeniem całki: x*tg(x) po dx.
Chodzi mi o pełne rozwiązanie, krok po kroku. Problem jest na tyle istotny, że ten kto go rozwiąże może śmiało zgłaszać się do mnie po nagrodę :) Moje rozwiazanie wygladalo tak: 1. Siegnalem na polke po ksiazke ``Table of integrals, series and products'. 2. Kartkowalem, az znalazlem wzor na calke z x^p tg x. 3. Odnioslem ksiazke na miejsce (bo nie byla moja). Wzor: calka z (x^p tg x) dx = sum_{k=1}^{infty} (-1)^(k+1) F(k) B_{2k} x^{p+2k}, gdzie B_n = n-ta liczba Bernoulliego, F(k) = frac{2^{2k} (2^{2k-1} -1)} {(p+2k) (2k)!} oraz p = -1, |x| < pi/2 O nagrode nie bede sie upominal... : PS. Poprawnosci wzoru nie gwarantuje. Moglem sie pomylic przy przepisywaniu. |
| Marian Jakszto
|
Posted: 24 Sty 2001 16:02:55 Mam problem z policzeniem całki: x*tg(x) po dx.
Chodzi mi o pełne rozwiązanie, krok po kroku. Rozwijamy funkcję tg w szereg potęgowy w otoczeniu punktów postaci pi*k, gdzie k przebiega zbiór liczb całkowitych. Wobec okresowości funkcji tg wystarczy zrobić to w otoczeniu punktu 0 i uogólnić wynik; dostajemy: tg(x)=Suma( 2^(2n) * ( 2^(2n)-1 ) * B_n * (x-pi*k)^(2n-1) / (2n)! , n, 1, +oo) dla |x-pi*k|<pi/2, B_n oznacza n-tą liczbę Bernoulliego (B_1=1/6, B_2=1/30). Jak otrzymać takie rozwinięcie? Jeden ze sposobów można znaleźć w podręczniku G. Fichtenholza "Rachunek różniczkowy i całkowy", t. II, ustęp 449. Otrzymane szeregi mnożymy przez x i całkujemy; w rezultacie otrzymujemy, że dowolna funkcja pierwotna funkcji (danej wzorem) x*tg(x) jest postaci: F(x)=Suma( 2^(2n-1) * ( 2^(2n)-1 ) * B_n * (2nx+pi*k) * (x-pi*k)^(2n) / [n*(2n+1)!] , n, 1, +oo) + C_k dla |x-pi*k|<pi/2, gdzie C_k - dowolna stała związana z przedziałem (pi*k-pi/2;pi*k+pi/2), tzn. może się zdarzyć, że C_k1<C_k2. Marian Jakszto PS. Przyjmuję, że jest sens mówić o funkcji pierwotnej oraz całce nieoznaczonej funkcji określonej na dość dowolnym zbiorze, niekoniecznie na przedziale. Jeśli ograniczamy się tylko do przedziału, sytuacja trochę się upraszcza, bo wtedy ustalamy k. |