RĂłwnolicznoÂśÄ?

Matma / RĂłwnolicznoÂśÄ?

Autor	Wiadomość
Marcin Kysiak	Posted: 19 Sty 2001 10:39:39 On Tue, 16 Jan 2001 09:42:53 +0100, "Przemysław Dębski" Dziękuję wszystkim za zainteresowanie tematem. heh na marginesie; ciekawe czemu zawsze w historii tej grupy, kazde pytanie o rownolicznosc itp. prowadzilo dluuuugich dyskusji :) Bo to jest dosc intrygujacy temat. Od pewnego czasu (w porozumieniu z Markiem Szyjewskim) staram sie splodzic stosowny rozdzial do FAQ. Moze to troche skroci te watki (szkoda by bylo), a moze zainspiruje nowe? Niestety nie moge obiecac kiedy skoncze to pisac, choc moze w najblizszym czasie doszlifuje i przesle jakies fragmenty. Pozdrawiam MK
Włodzimierz Holsztyński	Posted: 19 Sty 2001 14:48:23 On Tue, 16 Jan 2001 09:42:53 +0100, "Przemysław Dębski" Dziękuję wszystkim za zainteresowanie tematem. heh na marginesie; ciekawe czemu zawsze w historii tej grupy, kazde pytanie o rownolicznosc itp. prowadzilo dluuuugich dyskusji :) Z jednej strony, elementarne wyniki tego tematu sa latwe i zrozumiale (w teorii liczb, dla kontrastu, istnieja proste wyniki, bardzo trudne do udowodnienia), a z drugiej strony zawsze znajda sie entuzjasci, dla ktorych te wyniki wciaz maja aureole magii (co?! odcinek [0;1] i przestrzen R^3 sa rownoliczne?!! W glowie sie nie miesci :-) Bo to jest dosc intrygujacy temat. Od pewnego czasu (w porozumieniu z Markiem Szyjewskim) staram sie splodzic stosowny rozdzial do FAQ. Moze to troche skroci te watki (szkoda by bylo), a moze zainspiruje nowe? Oby. A w ramach koncertu zyczen i skoro mowilismy o Banachu, to proponuje podac dowod Banacha twierdzenia Cantora- Bernsteina; twierdzenie o punkcie stalym mozna ewntualnie podac bez dowodu). [...] Pozdrawiam MK Nawzajem, Wlodek Sent via Deja.com http://www.deja.com/
Krzysztof Parzyszek	Posted: 19 Sty 2001 18:04:03 Oby. A w ramach koncertu zyczen i skoro mowilismy o Banachu, to proponuje podac dowod Banacha twierdzenia Cantora- Bernsteina; twierdzenie o punkcie stalym mozna ewntualnie podac bez dowodu). Masz na mysli twierdzenie o odwzorowaniach zwezajacych? Mysle, ze dowod jest po pierwsze prosty (znacznie prostszy od dowodu twierdzenia C-B), a po drugie dosc pouczajacy. Jesli myslisz o twierdzeniu Brouwera, to rzeczywiscie, dowod mozna sobie darowac... :) (Choc samo twierdzenie jest znacznie bardziej efektowne i warte wspomnienia.)
Włodzimierz Holsztyński	Posted: 19 Sty 2001 23:17:42 -- Oby. A w ramach koncertu zyczen i skoro mowilismy o Banachu, to proponuje podac dowod Banacha twierdzenia Cantora- Bernsteina; twierdzenie o punkcie stalym mozna ewntualnie podac bez dowodu). Masz na mysli twierdzenie o odwzorowaniach zwezajacych? Mysle, ze dowod jest po pierwsze prosty (znacznie prostszy od dowodu twierdzenia C-B), a po drugie dosc pouczajacy. Jesli myslisz o twierdzeniu Brouwera, to rzeczywiscie, dowod mozna sobie darowac... :) (Choc samo twierdzenie jest znacznie bardziej efektowne i warte wspomnienia.) -- Krzysztof Parzyszek Nie mialem na mysli zadnego z dwoch twierdzen o punkcie stalym, ktore wymieniles. Przesadzilem trez z troska o Marcina, bo dowod twierdzenia o punkcie stalym, ktory w dowodzie twierdzenia Cantora-Bernsteina uzyl Banach, jest na jedno dwa zdania, kompletnie trywialna afera. Twierdzenie. Kazde odwzorowanie f : L -- L, niepustej kraty zupelnej L, ktore zachowuje porzadek, ma punkt staly. W twierdzeniu chodzi o kraty Birkhoffa. Zupelnosc z definicji oznacza, ze kazdy niepusty podzbior A zbioru L ma w L kres gorny i kres dolny. W szczegolnosci dla A=L oznacza to istnienie w L elementu najmniejszego 0 i najwiekszego 1. Dowod Twierdzenia. Niech A bedzie zbiorem wszystkich x in L, dla ktorych x < f(x). 0 nalezy do A, wiec A jest niepuste. Niech a := /A bedzie kresem gornym A. Wtedy x < f(x) < f(a) dla kazdego a in A co z definicji kresu oznacza, ze a < f(a), czyli a in A Poniewaz a < f(a), to takze f(a) < f(f(a)), czyli f(a) in A, skad f(a) < a. Zatem f(a) = a. CBDO ------------------------------ Z rozpedu podam dowod TC-B Twierdzenie (Cantor-Bernstein) Niech f : X -- Y i g : Y -- X beda injekcjami dowolnych zbiorow X Y. Wtedy zbiory X Y sa rownoliczne. Dowod (Banach) Niech F : L -- L, gdzie L := 2^X, bedzie dane nastepujaco: F(S) := X g(Y f(S)) dla dowolnego S in L. Zalozenia powyzej podanego twierdzenia o punkcie stalym zachodza, wiec istnieje zbior A taki, ze F(A) = A. Wtedy g(Y f(A)) = X f(A). Zatem bijekcje: f\|A : A -- f(A) i g\|Yf(A) : Y f(A) -- X A wspolnie daja jedna/ bijekcje: X -- Y. CBDO. Dowod Banacha przedstawil mi wielki matematyk Roger Lyndon. Bylo to na przyjeciu, w czasie jakiejs wielkiej konferencji. Roger byl kompletnie pijany -- ten uroczy, przyjazny czlowiek byl niestety alkoholikiem -- i dowod w dwoch krotkich linijkach napisal mi na hotelowej, snieznobialej serwecie (z materialu, nie papierowej; nie, nie wzialem sobie tej serwety, kopia dowodu zapisala sie w glowie, w koncu wszystko sprowadza sie do jednej idei i jednego wzoru. Nalezalo jednak serwete ukrasc, miec na pamiatke, nie dac jej do wyprania lub wyrzucenia). Piekno dowodu mnie zachwycilo. Tym bardziej, ze z tym twierdzeniem mialem wiele lat wczesniej zwiazek osobisty, dalo mi ono kiedys wiare w to, ze niedaleko mi do oryginalnych wynikow. Pozdrawiam, Wlodek Sent via Deja.com http://www.deja.com/
Krzysztof Parzyszek	Posted: 20 Sty 2001 03:15:44 Twierdzenie. Kazde odwzorowanie f : L -- L, niepustej kraty zupelnej L, ktore zachowuje porzadek, ma punkt staly. Ja to znałem jako twierdzenie Tarskiego.
Włodzimierz Holsztyński	Posted: 20 Sty 2001 08:15:29 Twierdzenie. Kazde odwzorowanie f : L -- L, niepustej kraty zupelnej L, ktore zachowuje porzadek, ma punkt staly. Ja to znałem jako twierdzenie Tarskiego. -- Krzysztof Parzyszek Tak? To ciesze sie :-) (Absolutnie nie mowilem, ze Banacha, po prostu nie wiedzialem). Chociaz dowod jest latwy, to sformulowanie jest ciekawe i twierdzenie wartosciowe. Pozdrawiam, Wlodek PS. Wsiakla, wyparowala, znikla mi monografia Ciesielskiego z teorii mnogosci (dla nie mnogosciowcow, ale ostra). W niej twierdzenie o punkcie stalym i dowod Banacha byly dyskutowane (tak zawziecie, ze troche zatracila sie elegancja argumentu Banacha). Sent via Deja.com http://www.deja.com/


° Forum ° Odpowiedz ° Rejestracja ° Szukaj °