  |
|
| ° Forum ° Odpowiedz ° Rejestracja ° Szukaj ° | |
| samochody ciężarowe ° Auto giełda ° Sprzedam motocykle ° |
|
|
| ° Forum ° Odpowiedz ° Rejestracja ° Szukaj ° | |
| samochody ciężarowe ° Auto giełda ° Sprzedam motocykle ° |
 |
Matma / Równoliczność |
| . 1 . 2 . 3 . 4 . >> |
| Autor | Wiadomość |
| Przemysław Dębski
|
Posted: 15 Sty 2001 09:04:36 Mam taki problem. Bez problemu można pokazać, że dwa zbiory zawarte w R są równoliczne. Natomiast nie wiem czy zbior zawarty w RxR jest równoliczny ze zbiorem zawartym w R. Próbowałem sobie wyobrazić jakąś bijekcję RxR-R ale jedyne co mi przyszło do głowy to "zwęzająca się ku górze sprężyna". Czy ktoś wie coś więcej na ten temat i mógłby się wiedzą podzielić ? Pzdr. P.D. -- --- |
| Maciej Bojko
|
Posted: 15 Sty 2001 12:59:51 On Mon, 15 Jan 2001 10:04:36 +0100, "Przemysław Dębski" Mam taki problem. Bez problemu można pokazać, że dwa zbiory zawarte w R są
równoliczne. Natomiast nie wiem czy zbior zawarty w RxR jest równoliczny ze zbiorem zawartym w R. Próbowałem sobie wyobrazić jakąś bijekcję RxR-R ale jedyne co mi przyszło do głowy to "zwęzająca się ku górze sprężyna". Czy ktoś wie coś więcej na ten temat i mógłby się wiedzą podzielić ? Np. cos takiego: funkcja z [0,1)x[0,1) w [0,1): niech x1,x2,... - kolejne cyfry rozwiniecia (np. dziesietnego) x, a y1,y2,... - takiez cyfry y. Niech f(x,y)=0,x1y1x2y2... (Musimy tutaj zrobic porzadek z dwuznacznym zapisem - tzn. 0,19999... = 0,20000... I jeden z tych wariantow wykluczyc.) Maciej Bójko |
| Przemysław Dębski
|
Posted: 15 Sty 2001 13:53:29 Na podstawie tego można pokazać rownoliczność praktycznie dowolnych zbiorów R^n z R. Dzieki !!! Pzdr. P.D. |
| Przemyslaw Kwiatkowski
|
Posted: 15 Sty 2001 15:21:29 Hej "PrzemysławDębski"! Odpowiedź na list z dnia Monday, January 15, 2001, 10:04:36 AM: Mam taki problem. Bez problemu można pokazać, że dwa zbiory zawarte w R są
równoliczne. Echem... No to pokaż, że zbiory liczb wymiernych i niewymiernych są równoliczne. ;-) |
| Przemysław Dębski
|
Posted: 15 Sty 2001 20:03:15 Echem... No to pokaż, że zbiory liczb wymiernych i niewymiernych są
równoliczne. ;-) 1) Podzielmy zbiór liczb wymiernych na dwie klasy A i B. Każda liczba z klasy A jest mniejsza od liczby z klasy B. Liczby niewymierne określa się wprowadzając taki podział Zbioru liczb wymiernych, że A nie ma liczby największej a B liczby najmniejszej. 2) Wprowadzmy podział zbioru R na dwie klasy A - (-oo ; a), B - [a ; +oo) z tego zapisu wynika że zbiór A nie ma liczby największej. Liczba a ze zbioru B jest najmniejsza w tym zbiorze i jest wymierna (z zał.). Wobec tego można powiedzieć że "sąsiadem od dołu" liczby a ze zbioru B jest liczba niewymierna. Wniosek jest taki że "poprzenikiem" każdej liczby wymiernej jest liczba niewymierna. 3) Wprowadzmy podział zbioru R na dwie klasy A - (-oo ; a], B - (a ; +oo) z tego zapisu wynika że zbiór B nie ma liczby najmniejszej. Liczba a ze zbioru A jest najwieksza w tym zbiorze i jest wymierna (z zał.). Wobec tego można powiedzieć że "sąsiadem od góry" liczby a ze zbioru A jest liczba niewymierna. Wniosek jest taki że "następnikiem" każdej liczby wymiernej jest liczba niewymierna. 4) Pomiędzy dwiema liczbami niewymiernymi istnieje co najmniej jedna liczba wymierna. [W.Stankiewicz - "Zadania dla ... cz. 1A" str.34] - tam jest dowód. 5) Sumując wnioski z pkt. 2,3,4 wychodzi nam że liczby wymierne i niewymierne występują w R naprzemiennie. Z tąd jeden krok do równoliczności. 6) Są to efekty moich przemyśleń, bo niestety "moja literatura nie podaje ..." więc proszę o wyrozumiałość :)) Przemyslaw Kwiatkowski, Micha(R)
Pzdr. P.D. |
| Przemo
|
Posted: 15 Sty 2001 21:11:23 Witajcie. Jestem nowy na grupie. Odpowiadajac na post. Niestety wnioski jakie wyciagasz sa bledne. Mozna latwo pokazac, ze liczb niewymiernych jest wiecej niz wymiernych. Stosuje sie tutaj argument przekatniowy. Najpierw jako cwiczenie proponuje Ci bys sprawdzil, ze zbior liczb wymiernych jest rownoliczny ze zbiorem liczb naturalnych. Teraz mozna probowac zrobic bijekcje pomiedzy niewymiernymi z przedzialu (0,1) a naturalnymi. Tego jednak nie da sie zrobic. Wezmy dowolna przeksztalcenie N - (NW iloczyn (0,1)): 1 - 0,a11 a12 a13 a14 a15 .... 2 - 0,a21 a22 a23 a24 a25 .... 3 - 0,a31 a32 a33 a34 a35 .... 4 -...................... ................ a11 to pierwsza cyfra rozwiniecia (ktore jest nieskonczone i nieokresowe) liczby niewymiernej z (0,1). a12 to druga cyfra itd. Pokaze, ze dla tak skonstruowanej "bijekcji" istnieje liczba niewymierna z (0,1) nie majaca przeciwobrazu. Jej rozwiniecie to 0, c1 c2 c3 c4 ..........., gdzie ci to i-ta cyfra tego rozwiniecia. Gdy aii = 1 to ci = 0, gdy aii<1 to ci = 1. Jak widac ta liczba rozni sie od kazdej niewymiernej z listy przynajmniej na jednej pozycji. To oznacza, ze nie ma liczby naturalnej dla ktorej ona jest wartoscia zbudowanej funkcji. To dowodzi, ze takiej bijekcji nie da sie zrobic. Da sie zrobic iniekcje a to oznacza, ze #N <= #(NW iloczyn (0,1)) Razem z wnioskiem z argumentu przekatniowego mamy #N< #(NW iloczyn (0,1)) <= #NW - #N < #NW Pozdrawiam Przemo |
| Przemysław Dębski
|
Posted: 15 Sty 2001 21:45:57 [ciach] naturalnych. Teraz mozna probowac zrobic bijekcje pomiedzy niewymiernymi z
przedzialu (0,1) a naturalnymi. Tego jednak nie da sie zrobic. Wezmy dowolna przeksztalcenie N - (NW iloczyn (0,1)):
1 - 0,a11 a12 a13 a14 a15 .... 2 - 0,a21 a22 a23 a24 a25 .... 3 - 0,a31 a32 a33 a34 a35 .... 4 -...................... ................ a11 to pierwsza cyfra rozwiniecia (ktore jest nieskonczone i nieokresowe) liczby niewymiernej z (0,1). a12 to druga cyfra itd. Pokaze, ze dla tak skonstruowanej "bijekcji" istnieje liczba niewymierna z (0,1) nie majaca przeciwobrazu. Jej rozwiniecie to 0, c1 c2 c3 c4 ..........., gdzie ci to i-ta cyfra tego rozwiniecia. Gdy aii = 1 to ci = 0, gdy aii<1 to ci = 1. Jak widac ta liczba rozni sie od kazdej niewymiernej z listy przynajmniej na jednej pozycji. To oznacza, ze nie ma liczby naturalnej dla ktorej ona
jest wartoscia zbudowanej funkcji.
A cóż stoi na przeszkodzie aby rodzine liczb skonstruowanych w ten sposó uwzględnić w N-NW, wówczas mielibyśmy: 1 - 0,a11 a12 a13 a14 a15 .... 2 - 0,a21 a22 a23 a24 a25 .... 3 - 0,a31 a32 a33 a34 a35 .... 4 -...................... ................................... n - 0, c1 c2 ...................... Przecież słowo "bijekcja" nie ogranicza do jednego typu przyporządkowania. Np | y = x dla (-oo , 0) f(x) : < | y = x^2 dla [0 ; +oo) f(x) jest bijekcją Pzdr. P.D. |
| . 1 . 2 . 3 . 4 . >> |