Trysekcja kata: Galois czy Gauss? Powrot do pytania

Matma / Trysekcja kata: Galois czy Gauss? Powrot do pytania

Autor	Wiadomość
Włodzimierz Holsztyński	Posted: 15 Sty 2001 03:45:26 -- W podrecznikach teorii Galois, ktore dalekie sa/ od bycia monografiami historycznymi, mozna wyczytac, ze Galois poprzez swoja teorie rozwiazal miedzy innymi problem trysekcji kata, problem ktory liczyl sobie okolo dwa tysiace lat. Tutaj, na p.s.m., Marek Szyjewski przekonal mnie swojego czasu, ze wynik ten uzyskal Gauss. Tymczasem z prowadzonego przez Marka FAQ mozna wyczytac, ze Gauss mial gleboki wglad w ten problem, jednak do rozwiazania bylo mu daleko. Poprzestal na uwagach bez dowodu. Dowodu nigdy nie podal, a przeciez trudno o smaczniejszy kasek niz problem liczacy sobie 2 tysiace lat. Nastepnie mamy w tymze FAQ stwierdzenie: Te uwagi Gaussa zamienił na ścisły dowód Pierre L. Wantzel (1814-1848) w 1837 r. Usmiecham sie na sformulowanie "zamienil na scisly dowod". Ten dowod ktos najpierw po prostu musial wymyslec. Od publikacji uwag Gaussa w jego Disquisitiones Arithmeticae do dowodu Wantzela minelo 36 lat. Marek dodaje jeszcze: Wantzel był repetytorem w École Polytechnique w Paryżu, tej samej, w której Evariste Galois dwukrotnie oblał egzamin wstepny: w 1828 (egzaminatorem był Lefebre) i w 1829 (egzaminatorem był Dinet). Jak zobaczymy za chwile, trudnmo sobie w takim razie wyobrazic, ze Wantzel nie byl wystawiony na prace Galois. (Uwazam, ze historycy powinni sprawdzic, czy nie ma udrzajacych zbieznosci pomiedzy elementami pracy Galois i dowodem Wantzla. A nuz Wantzel mial dostep do zaginionego manuskryptu Galois, a jedyne co potrafil z niego wyekstrahowac, to trysekcje ka/ta. Chocby z powodu tego podejrzenia warto mmi bylo naopisac ten list tutaj :-). Tekst z FAQ jest pod adresem: http://ux1.math.us.edu.pl/~szyjewski/FAQ/konstruk/trysekcj.htm Zajrzyjmy teraz pod adres: http://godel.ph.utexas.edu/~tonyr/galois.html pod ktorym Tony Rothman pisze o Evariste Galois. Galois zostal ranny (wlasciwie zamnordowany) w pojedynku, dnia 30 Maja, 1932r (pisze "zamordowany", bo zostawiony z rana/ w brzuch na polu; gdy wykrwawiony w koncu znalazl sie w szpitalu, bylo za pozno, zmarl na drugi dzien). Juz ta jedna data, o 5 lat wyprzedzajaca dowod Wantzela, jednoznacznie wedlug mnie rozwiazuje kwestie priorytetu niemoznosci trysekcji kata (wciaz bardzo trudnej do udowodnienia w swietle uwag Gaussa, a niemal dziecinnie prostej w swietle teorii Galois -- jest to bodajze "najtrywialniejszy" wniosek z tej teorii). Warto wiedziec, ze zasadnicze artykuly o swojej teorii Galois -opublikowal- za zycia, w 1830r. Bylo tez glosno o jego manuskrypcie zlozonym na konkurs, na rece sekretarza konkursu akademii francuskiej, Fouriera. Niestety, Fourier wkrotce potem zmarl, 16 Maja, 1830r., a prawdziwa/ tragedia/ osobista dla Galois bylo zaginiecie jego pracy. Nie znaleziono jej wsrod rzeczy Fouriera. Prawdopodobnie (to juz moja hipoteza) zagubil lub zaniedbal ja/ jeden z czlonkow komisji i nigdy sie nie przyznal, ze Fourier wreczyl mu manuskrypt. Wczesniejszy manuskrypt napisany przez Galois mial przedstawic Akademii Cauchy. Najpierw zdecydowal dolaczyc do prezentacji, jako oddzielna czesc, swoj wlasny wynik, by wreszcie przedstawic tylko swoj wynik. Byc moze dlatego, ze prezentacja wynikow Galois uniemozliwilaby wziecie udzialu w konkursie -- niestety Rothman nie wyjasnia tego punktu ze stu procentowa jasnoscia. W kazdym razie wedlug Rothmana nie wiadomo czy i kiedy Cauchy zagubil manuskrypt Galois. Przy tym jest raczej pewnym, ze Cauchy docenil Galois. W sumie cala ta sprawa dalej jest bardzo niejasna i tragiczna. Artykul Rothmana jest bardzo ciekawy, zebral i uporzadkowal chronologicznie szereg faktow, dobra robota. Jednak dla mnie jest ciezki do czytania bo napisany bez sympatii dla Galois. Rothman widzi wszystkie drzewa, ale nie widzi lasu. Pozdrawiam, Wlodek PS. Rozumiem zirytowanie Rothmana nierzetelnymi historycznie artykulami i ksiazkami innych autorow o Galois, m.in. "Wybrancami Bogow" Infelda. Przy okazji oburzenie Rothmana na to, ze Infeld wpakowal dwoch szpicli policyjnych do grona uczestnikow pierwszego prywatnego wykladu Galois z algebry, rozbawilo mnie :-) Sent via Deja.com http://www.deja.com/
Marek Szyjewski	Posted: 16 Sty 2001 18:19:37 On Mon, 15 Jan 2001 03:45:26 GMT, Włodzimierz Holsztyński [ciach bardzo ciekawy tekst] Sent via Deja.com http://www.deja.com/ Przy Gaussie i Wantzelu chodzi o konstruowalnosc wielokatow foremnych z zadana liczba bokow, a nie o trysekcje. Wiazanie nazwiska Galois z konkretnym problemem - np. trysekcji kata - wydaje mi sie naduzyciem z kilku powodow. Po pierwsze chodzi o to, co z algebry zaliczamy do "zwyklej" teorii cial, a co do teorii Galois. Zajrzyjmy do wzorcowego podrecznika: "Algebra" B.L. van der Waerdena. Podstawy teorii cial zawuera rozdzial VI. Paragraf 37 - podciala i (pod)ciala proste. Paragraf 38: rozszerzenie o zbior elementow, paragraf 39 - rozszerzenia proste (przestepne i algebraiczne), PARAGRAF 40 - rozszerzenia skonczone, w tym stopien rozszerzenia i "Twierdzenie o stopniach", orzekajace MULTYPLIKATYWNOSC stopnia rozszerzenia. Paragraf 41 - rozszerzenia algebraiczne, w tym ciala rozkladu wielomianu, ROZSZERZENIA NORMALNE. Paragraf 42 - pierwiastki z 1. Paragraf 43 - ciala Galois (! tak! ciala Galois nie naleza do teorii Galois!!!). Paragraf 44 - rozszerzenia rozdzielcze i (czysto) nierozdzielcze. Paragraf 45 - ciala doskonale. Paragraf 48 - twierdzenie (teraz zwane twierdzeniem Abela) o elemencie pierwotnym. Paragraf 47 - normy i slady. Po tym nastepuje rozdzial VII - kontynuacja teorii grup i dopiero 28 stron dalej rozdzial VIII - teoria Galois. Wedlug van der Waerden do teorii Galois naleza zagadnienia, omawiane w paragrafach 57-67: grupa galois (rozszerzenia), zasadnicze twierdzenie teorii Galois (o odpowiedniosci miedzy godgrupami grupy Galois i cialami posrednimi), (pod)grupy sprzezone, cial sprzezone i sprzezone el;ementy ciala, (grupy Galois a) ciala cyklotomiczne, rozszerzenia cykliczne i rownania dwumianowe , rozwiazywalnosc rownan (wielomianowych) przez pierwiastniki (i to wlasnie jest kryterium Galois rozwiazalnosci rownania), ogolne rownania stopnia n (z centralnym twierdzeniem, ze jego grupa Galois jest (pelna) grupa symetryczna stopnia n (wnioskiem z kryterium Galois i informacji o prostocie grup A_n jest twierdzenie Abela-Ruffiniego, ze rownanie ogolne jest rozwiazalne przez pierwiastniki tylko dla n < 5, wiec nie istnieja ogolne wzory na pierwiastki wielomianow stopni 4). Paragraf 64 jest trudny do zaklasyfikowania: autor pokazuje jak za pomoca teorii Galois uzyskac wzory (i warunki na istnienie pierwiastkow rzeczywistych) na pierwiastki wielomianow stopni 2,3,4 - zastosowania teorii Galois do uzyskania ZNANEGO WCZESNIEJ rezultatu (wzorow Cardano i Ferrari). Rowniez zastosowaniem teorii jest paragraf 65 o konstrukcjach cyrklem i linijka. Dalej teoria Galois: wyznaczanie grupy Galois i (minimalny przyklad zadania odwrotnego teorii Galois) wyznaczanie wielomianow z symetryczna grupa Galois - w paragrafie 66 oraz bazy normalne w paragrafie 67. Bardziej zaawansowany kurs obejmuje jeszcze teorie Galois rozszerzen nieskonczonych (z topologia Krulla w grupie Galois), pelny wyklad zagadnienia odwrotnego, zastosowania teorii Galois do konstrukcji algebr centralnych prostych. To ostanie zagadnienie (czasami nazywane "teoria Galois algebr") w nowszych podrecznikach przechodzi z dzailu teoria Galois do dzialu algebra homologiczna, bo najlepszym jezykiem jest tu jezyk kohomologii Galois. Po co te pedantyczne rozroznienia? Zeby wyraznie pokazac, ze przytlaczajaca wiekszosc tego, co wiadomo o niewykonalnosci konstrukcji geometrycznych nie uzywa ANI SLADU TEORII GALOIS! Van der Waerden umiescil konstrukcje geometryczne w rozdziale "Teoria Galois", to prawda. Ale teraz przejdzmy do konkretow. Problem delijski (podwojenie szescianu) - skonstruowac odcinek 2^(1/3). Kazde rozszerzenie skonczone ciala Q, do ktorego nalezy 2^(1/3) ma stopien podzielny przez 3; stopien kazdego rozszerzenia konstruowalnego jest potega 2; nie ma poteg dwojki podzielnych przez 3 - wszystko zalatwia multyplikatywnosc stopnia (paragraf 40), zadan teoria Galois nie jest potrzebna! Kwadratura kola: rozszerzenie Q o pi jest przestepne (jak to wykazal Lindemann w 1882) - i paragraf 39. Trysekcja kata: aby podzielic kat a na trzy rowne czesci, potrzeba i wystarcza skonstruowac odcinek o dlugosci x takiej, ze 4x^3 - 3x = a. Za pomoca wzorow Cardano mozna sprawdzic, ze stopien ciala rozkladu takiego wielomianu jest dzielnikiem liczby 6 (dla wygody nad cialem Q(sqrt(3)) i rozstrzygnac, czy dla danego wielomianu ten stopien dzieli sie przez 3 (wiec kata nie da sie podzielic na trzy czesci konstrukcyjnie). Malo tego: proste podstawienie pozwala przeksztalcic casus irreducibilis rownania stopnia 3 na rownanie podzialu kata na 3 czesci. Tak wiec kryterium wykonalnosci trysekcji figuruje w "Ars magna" Girolamo Cardano z 1545 roku. Tylko trzeba je uzupelnic o wiedze o stopniach rozszerzen, okreslonych przez Steinitza w 1910 roku w Algebraische Theorie der Körper. Tam po raz pierwszy pojawily sie definicje cial prostych, elementow rozdzielczych, stopnia przestepnego, istnienie domkniecia algebraicznego - caly wlasciwie rozdzial VI z ksiazki van der Waerdena. Oczywiscie, za pomoca treorii Galois jest prosciej... Wreszcie wielokaty foremne - klania sie Gauss. Czy w ogole teoria Galois ma jakis zwiazek z rozstrzyganiem o wykonalnosci konstrukcji geometrycznych? TAK! Za jej pomoca latwo wykazac, ze kazdy element rozszerzenia F ciala Q, ktorego stopien (F:Q) jest potega dwojki, jest konstruowalny. Czyli teoria Galois jest potrzebna do orzekania, ze jakies konstrukcje SA WYKONALNE! Na przyklad konstrukcja wielokata foremnego o 257 czy 65537 bokach, czy o 351725765537 bokach. Tylko ze... same konstrukcje sa znane, wiec (w pelni konstruktywny) dowod ich wykonalnosci nie wykorzystujacy teorii Galois istnieje. Ale jesli chcemy miec pelne kryterium konstruowalnosci, a nie oddzielne warunki wystarczajace i oddzielny warunek konieczny, to korzystamy z teorii Galois i z rozwiazalnosci 2-grup (o ktorej zdaje sie Galouis nie mial pojecia). Mam wrazenie, ze wiele osob zalicza do teorii Galois kazde zdanie, w ktorym wystepuje slowo "cialo", z prawem Archimedesa wlacznie. I ze te osoby zapoczatkowaly mode na "zagadnienie" teoria Galois a konstrukcje geometryczne. Nie moge stwierdzic tego z cala pewnoscia nie przeczytawszy pracy Wantzela ani rekopisow Galois, ale jestem przeswiadczony, ze gdyby nawet Wantzel znal na pamiec rekopisy Galois, to w problemie konstruowalnosci wielokatow foremnych nie mialby czego z nich zastosowac. warto wiedziec, ze wspolczesnie wykladana teoria Galois, ktora umiemy tak ladnie zastosowac, opiera sie na dwoch twierdzeniach o istnieniu - twierdzeniu Steinitza o istnieniu domkniecia algebraicznego i (rowniez nieefektywnym) twierdzeniu o przedluzaniu zanurzenia. galois nie mogl nawet o nich pomyslec - nie znal lematu Kuratowskiego Zorna ani pochodzacej od Cantora indukcji pozaskonczonej. Z tych dwoch twierdzen o istnieniu cala teorie buduje sie latwo i elegancko korzystajac z lematu Artina z lat 20-tych (1924 - 1926) naszego wieku. Wreszcie dla nas teoria grup (wraz z nilpotentnoscia p-grup, z ktorej trywialnie - dla nas - wynika ich roziwazalnosc) jest elementarnym narzedziem znanym ze studiow, ale powstalo ono PO wielkiej karierze ksiazki Jordana Traité des substitutions et des équations algébriques z 1870, ktora wprowadzila teorie Galois do matematyki. Teoria Galois ktora znamy bardzo sie rozni od zawartosci manuskryptow Ewarysta Galois. Nic dziwnego - idee Galois (grupa, dzialanie grupy na zbiorze) rozwijali najwieksi matematycy konca XIX i poczatku XX wieku. Z powazaniem Marek Szyjewski My, samotnicy, powinnismy trzymac sie razem!


° Forum ° Odpowiedz ° Rejestracja ° Szukaj °