  |
|
| ° Forum ° Odpowiedz ° Rejestracja ° Szukaj ° | |
| samochody ciężarowe ° Auto giełda ° Sprzedam motocykle ° |
|
|
| ° Forum ° Odpowiedz ° Rejestracja ° Szukaj ° | |
| samochody ciężarowe ° Auto giełda ° Sprzedam motocykle ° |
 |
Matma / Homotopijna równoważność |
| . 1 . 2 . >> |
| Autor | Wiadomość |
| Marian Jakszto
|
Posted: 13 Sty 2001 20:12:40 Cześć! Czy można wskazać n-wymiarowe rozmaitości topologiczne, które są homotopijnie równoważne, ale nie są homeomorficzne? Marian Jakszto |
| Andrzej Komisarski
|
Posted: 13 Sty 2001 20:57:51 Czy można wskazać n-wymiarowe rozmaitości topologiczne, które są
homotopijnie równoważne, ale nie są homeomorficzne? Dla n=1 nie da się znaleźć takiej pary. Dla n=2 dobrym przykładem jest powierzchnia boczna walca i wstęga Moebiusa. Łatwo można ten przykład zmodyfikować dla n2 (wystarczy walec i wstęgę Moebiusa przemnożyć przez R^{n-2}). Nie widzę za to od ręki przykładów zwartych (ani też powodów dla których miałoby ich nie być). |
| Marek Szyjewski
|
Posted: 16 Sty 2001 15:29:08 On Sat, 13 Jan 2001 21:12:40 +0100, "Marian Jakszto" Cześć!
Czy można wskazać n-wymiarowe rozmaitości topologiczne, które są homotopijnie równoważne, ale nie są homeomorficzne? Marian Jakszto Juz na plaszczyznie: X = plaszczyzna bez punktu, Y = okrag. Wlozenie Y w X jest homotopijna rownowaznoscia (istnieje retrakcja dziurawej plaszczyzny na okrag). Okrag jest zwarty, a plaszczyna bez punktu - nie, wiec nie sa homeomorficzne. Z powazaniem Marek Szyjewski My, samotnicy, powinnismy trzymac sie razem! |
| Andrzej Komisarski
|
Posted: 16 Sty 2001 16:47:10 Czy można wskazać n-wymiarowe rozmaitości topologiczne, które są
homotopijnie równoważne, ale nie są homeomorficzne? Juz na plaszczyznie: X = plaszczyzna bez punktu, Y = okrag. Wlozenie Y w X jest homotopijna rownowaznoscia (istnieje retrakcja dziurawej retrakcja deformacyjna! plaszczyzny na okrag).
Ale jedna ma wymiar 1, a druga 2, a szukamy takiej pary, by obie rozmaitości miały wymiar n. Chyba najprostszy przykład o jaki chodzi, to ten ze wstęgą Moebiusa i walcem przemnożonymi przez R^(n-2). |
| Włodzimierz Holsztyński
|
Posted: 16 Sty 2001 22:08:30 Czy można wskazać n-wymiarowe rozmaitości topologiczne, które są homotopijnie równoważne, ale nie są homeomorficzne? Juz na plaszczyznie: X = plaszczyzna bez punktu, Y = okrag. Wlozenie Y w X jest homotopijna rownowaznoscia (istnieje retrakcja dziurawej retrakcja deformacyjna! plaszczyzny na okrag). Ale jedna ma wymiar 1, a druga 2, a szukamy takiej pary, by obie rozmaitości miały wymiar n. Chyba najprostszy przykład o jaki chodzi, to ten ze wstęgą Moebiusa i walcem przemnożonymi przez R^(n-2). -- Andrzej Komisarski Podam przyklad, ktory nie jest prostszy od pary: wstega Mobiusa i powierzchnia walca, ale za to jest orientowalny, i w koncu tez nie skomplikowany: torus bez punktu i plaszczyzna bez dwoch punktow. (Przez torus rozumiem kartezjanski kwadrat okregu). Obie tak otrzymane 2-wymiarowe rozmaitosci orientowalne sa homotopijnie rownowazne z "8" czyli z jednopunkotowa suma/ dwoch okregow. Nie sa homeomorficzne, bo 1-punktowe uzwarcenie torusu, to wlasnie torus, czyli rozmaitosc. Natomiast 1-punktowe uzwarcenie R^2 {a b} (a, b -- dwa rozne punkty w R^2) jest jakims paskudztwem :-), nie jest rozmaitoscia. Mozna je otrzymac poprzez sklejenie 3 punktow sfery w jeden. Podobnie mozna dowiesc, bez rozwazan algebraicznych, niehomeomorfizm Wstegi Mobiusa i powierzchni cylindra. Bowiem 1-punktowe uzwarcenie wstegi jest rozmaitoscia/ (jest plaszczyzna rzutowa/), a w wypadku cylindra znowu dostaje sie byle co, mianowicie sfere 2 -wymiarowa, z dwoma punktami zidentyfikowanymi (zlepionymi). Uwaga. Rozroznienie pomiedzy punktami lokalnie euklidesowymi a powstalymi w przykladach uzwarcen punktami singularnymi jest bardzo proste: wszystkie dostatecznie male otoczenia punktow singularnych w naszych dwoch przykladach sa niespojne. Tymczasem punkty euklidesowe maja dowolnie male, spojne, przeklute (tj. pozbawione danego punktu) otoczenia, mianowicie dyski bez srodka. Pozdrawiam, Wlodek Sent via Deja.com http://www.deja.com/ |
| Marian Jakszto
|
Posted: 16 Sty 2001 22:24:49 Mozna przeczytac u Hiltona & Wylie,
Teoria Homologii, ze L(7,1) i L(7, 2) nie sa homeomorficzne, ale sa homotopijne. Przy okazji, czy przestrzenie soczewkowe są jednospójne? Marian Jakszto |
| Włodzimierz Holsztyński
|
Posted: 17 Sty 2001 01:07:44 Mozna przeczytac u Hiltona & Wylie, Teoria Homologii, ze L(7,1) i L(7, 2) nie sa homeomorficzne, ale sa homotopijne. Przy okazji, czy przestrzenie soczewkowe są jednospójne? Marian Jakszto Maja nietrywialne grupy fundamentalne, a nawet 1-wymiarowych homologii. Zwarta rozmaitosc 3-wymiarowa z trywialna/ grupa fundamentalna/ wedlug hipotezy Poincare bylaby 3-wym sfera/. Jest to ostatni wymiar, ktory sie opiera topologom. W wyzszych wymiarach rozmaitosci zwarte, homotopijnie rownowazne sferze sa homeomorficzne ze sfera/. 4-wymiarowy wypadek udowodnino zaledwie kilka lat temu. (Moze warto sprawdzic FAQ sci.math). Gdyby istniala homotopijna sfera S, rozna topologicznie od euklidesowej sfery S^3, to "kula Poincare" S {p} bylaby bardzo ciekawa/ rozmaitoscia otwarta/, topologicznie rozna/ od R^3, ale homotopijnie rownowazna z R^3 (po prostu z przestrzenia 1-punktowa/). Wlodek PS. Istnieja topologiczne dzielniki R^n i I^n, odpowiednio n-1 i n-2 wymiarowe, ktore nie sa homeomorficzne z R^(n-1) i I^(n-2), a po kartezjanskim przemnozeniu odpowiednio przez R lub I^2 daja R^n i I^n. PPS. Po moim poprzednim liscie cale p.s.m. juz powinno wiedziec dlaczego S {p} (homotopijna sfera bez punktu wspomniana wyzej) nie byloby homeomorficzne z R^3. Sent via Deja.com http://www.deja.com/ |
| . 1 . 2 . >> |