Nie doszlo (wysylalem wczesniej)

Matma / Nie doszlo (wysylalem wczesniej)

Autor	Wiadomość
Czesław Klott	Posted: 13 Sty 2001 12:14:07 Mam problem z zadaniem: dlugosci bokow czworokata, w ktory mozna wpisac okrag i na ktorym mozna opisac okrag sa rowne a, b, c, d. Wykazac, ze pole tego czworokata jest rowne sqrt(abcd). Kurcze, nikt nie ma pomyslu na to zadanie? Nie wierze. Hej, ja sie serio nie lenie - po prostu nie wiem jak je zrobic, serio. Prosze o pomoc :-)) a+b+c+d=2p ; S=sqrt[(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)] Powinno wyjsc, ale nie liczylem. --
Andrzej Komisarski	Posted: 13 Sty 2001 21:04:28 Kurcze, nikt nie ma pomyslu na to zadanie? Nie wierze. Hej, ja sie serio nie lenie - po prostu nie wiem jak je zrobic, serio. Prosze o pomoc :-)) a+b+c+d=2p ; S=sqrt[(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)] Powinno wyjsc, ale nie liczylem. Byc moze, sprawdze. Ale skad ta zaleznosc z pierwiastkiem? Jest prawdziwa dla każdego czworokąta wpisanego w okrąg (takie uogólnienie wzoru Herona). To, że czworokąt jest opisany na okręgu daje p-a=c, p-b=d, itd.
Czesław Klott	Posted: 13 Sty 2001 22:14:54 dlugosci bokow czworokata, w ktory mozna wpisac okrag i na ktorym mozna opisac okrag sa rowne a, b, c, d. Wykazac, ze pole tego czworokata jest rowne sqrt(abcd). Kurcze, nikt nie ma pomyslu na to zadanie? Nie wierze. Hej, ja sie serio nie lenie - po prostu nie wiem jak je zrobic, serio. Prosze o pomoc :-)) a+b+c+d=2p ; S=sqrt[(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)] Powinno wyjsc, ale nie liczylem. Byc moze, sprawdze. Ale skad ta zaleznosc z pierwiastkiem? Glowy nie dam, ale to chiba wzor Herona. --
Andrzej Komisarski	Posted: 18 Sty 2001 11:05:51 a+b+c+d=2p ; S=sqrt[(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)] Tak, tylko a+b+c+d=p/2. Ale to tylko taki maly szczegol (zapewne napisales co innego niz myslales). ??? Było dobrze, a+b+c+d=2p. Caly czas tylko zastanawiam sie, czy nie dalo sie tego inaczej (w sumie to po prostu nie znalem tego wzoru i nie ma go chyba w programie mat.-fiz., a zadanie nie bylo na szostke...). Ale mniejsza z tym. Teraz juz bede pamietal ten wzor. Moze sie przydac. Ciekaw jestem jeszcze tylko dowodu. Dochodzi warunek, ze jest spelniony tylko dla wielokata wpisanego w okrag. Jak go wykorzystac do dowodu (tego wzoru oczywiscie)? Dzielisz czworokąt przekątną na dwa trójkąty. Pole czworokąta to suma pól tych trójkątów, które liczysz ze wzorów 1/2ab sin A oraz 1/2cd sin C, gdzie A to miara kąta między bokami o długościach a i b, C to miara kąta między bokami o długościach c i d. Z założenia o wpisaniu w okrąg A+C=180 stopni i sin A = sin C. Aby te sinusy wyliczyć korzystamy z tego, że a^2+b^2-2ab cos A = c^2+d^2-2cd cos C, cos A = -cos C. Teraz zostaje wykonać pół strony rachunków i gotowe.
Czesław Klott	Posted: 18 Sty 2001 22:50:49 wzoru (Herona) to nie znam... znam go tylko dla trojkatow. Nie wiedzialem, ze istnieje dla czworokata. Kazdy czworokat da sie podzielic na dwa trojkaty i z tego wyprowadzic wzor dla czworokata. --
Andrzej Komisarski	Posted: 26 Sty 2001 13:19:28 [...] Dzielisz czworokąt przekątną na dwa trójkąty. Pole czworokąta to suma pól tych trójkątów, które liczysz ze wzorów 1/2ab sin A oraz 1/2cd sin C, gdzie A to miara kąta między bokami o długościach a i b, C to miara kąta między bokami o długościach c i d. Z założenia o wpisaniu w okrąg A+C=180 stopni i sin A = sin C. Aby te sinusy wyliczyć korzystamy z tego, że a^2+b^2-2ab cos A = c^2+d^2-2cd cos C, cos A = -cos C. Teraz zostaje wykonać pół strony rachunków i gotowe. Sluchaj, teraz przegladnalem stare notatki i stwierdzilem, ze doszedlem do tego samego... Ale co z tego? Dalej wyjdzie: a^2 + b^2 - c^2 - d^2 = cosA(ab+cd) I ja mam z tego policzyc sinA? Przeciez to jest niewyonalne... Z jedynki trygonometrycznej (ostrzegałem, że to pół stony rachunków).
Andrzej Komisarski	Posted: 26 Sty 2001 17:32:15 [...] Dzielisz czworokąt przekątną na dwa trójkąty. Pole czworokąta to suma pól tych trójkątów, które liczysz ze wzorów 1/2ab sin A oraz 1/2cd sin C, gdzie A to miara kąta między bokami o długościach a i b, C to miara kąta między bokami o długościach c i d. Z założenia o wpisaniu w okrąg A+C=180 stopni i sin A = sin C. Aby te sinusy wyliczyć korzystamy z tego, że a^2+b^2-2ab cos A = c^2+d^2-2cd cos C, cos A = -cos C. Teraz zostaje wykonać pół strony rachunków i gotowe. Sluchaj, teraz przegladnalem stare notatki i stwierdzilem, ze doszedlem do tego samego... Ale co z tego? Dalej wyjdzie: a^2 + b^2 - c^2 - d^2 = 2cosA(ab+cd) I ja mam z tego policzyc sinA? Przeciez to jest niewyonalne... No dobrze, skoro dostałem to pytanie także mailem, to zamiesczam to pół strony rachunków: cosA = (a^2 + b^2 - c^2 - d^2)/(2(ab+cd)) Niech n = a^2 + b^2 - c^2 - d^2, m = 2(ab+cd) Ponieważ 0<A<180st., więc sin A = sqrt(1 - cos^2(A)) = sqrt(1 - n^2/m^2) Szukane Pole = 1/2 (ab+cd)sinA = m/4 sqrt(1 - n^2/m^2) = = 1/4 sqrt(m^2-n^2) = 1/4 sqrt((m+n)(m-n)) = = 1/4 sqrt((a^2+b^2-c^2-d^2+2ab+2cd)(-a^2-b^2+c^2+d^2+2ab+2cd)) = = 1/4 sqrt(((a+b)^2-(c-d)^2)((c+d)^2-(a-b)^2)) = = 1/4 sqrt((a+b+c-d)(a+b-c+d)(a-b+c+d)(-a+b+c+d)) = = sqrt((a+b+c-d)/2(a+b-c+d)/2(a-b+c+d)/2*(-a+b+c+d)/2) = = sqrt((p-d)(p-c)(p-b)(p-a))


° Forum ° Odpowiedz ° Rejestracja ° Szukaj °