  |
|
| ° Forum ° Odpowiedz ° Rejestracja ° Szukaj ° | |
| samochody ciężarowe ° Auto giełda ° Sprzedam motocykle ° |
|
|
| ° Forum ° Odpowiedz ° Rejestracja ° Szukaj ° | |
| samochody ciężarowe ° Auto giełda ° Sprzedam motocykle ° |
 |
Matma / Zadania rekreacyjne |
| Autor | Wiadomość |
| Bartosz Lewandowski
|
Posted: 12 Sty 2001 15:30:58 Bardzo szybko potrzegbuję pomocy przy rozwiązaniu tych kilku zadań. Oprócz odpowiedzi proszę o krótkie uzasadnienie rozwiązania. Z góry dziękuję! Zadanie 1 Przy drodze znajduje sie 5 miejscowości A, B, C, d, E, o których wiadomo, że: z A do D jest 6km, z A do E jest 16km, z D do E jest22 km, z D do C jest 6 km i z A do B jest 16 km. Odległości mierzone są wzdłuż drogi. Wjakiej kolejności leżą te miejscowości przy drodze? Zadanie 2 Kasia znalazła 6 liczb dwucyfrowych takich, że żadne trzy nie mogą być długościami boków trójkąta. Czy potrafisz także znaleźć 7 takich liczb dwucyfrowych? Zadanie 3 Marek ma historyczne monety, które przechowuje w pudełkach. Ma on a pudełek, z których każde zawiera conajmniej jedną monetę; b pudełek , z których każde zawiera co najmniej 2 monety; c pudełek z co najmniej trzema monetami i d pudełek z których każde zawiera co najmniej 4 monety. Żadne pudełko nie zawiera więcej niż 4 monety. Ile monet ma Marek? Zadanie 4 Julek narysował na płaszczyźnie pewną liczbą linii prostych kolorem czerwonym, a potem kolorem zielonym dorysował o jedną linię więcej niż kolorem czerwonym. Następnie kolorem niebieskim narysował dodatkowo o jedną linię więcej niż kolorem zielonym. Każde dwie z narysowanych prostych przecinały się, ale żadne trzy nie przechodziły przez ten sam punkt. Julek zauważył, że wśród trójkątów utworzonych przez te proste , 6 ma każdy bok innego koloru. Ile linii prostych narysował Julek? Zadanie5 Czy istnieje liczba naturalna a taka, że a*a + 1996 jest kwadratem liczby naturalnej? Zadanie6 Długość boku kwadratu wyraża się całkowitą liczbą centymetrów. Pewien punkt wewnętrzny kwadratu ma całkowitoliczbowe odległości od dwóch nierównoległych boków kwadratu oraz od wierzchołka wsólnego dla dwóch boków pozostałych. Suma tych trzech odległości jest równa 10 cm. Oblicz pole kwadratu. Zadanie7 Na płaszczyżnie mamy 4 proste p1, p2, p3, p4. Proste p1 i p2 są prostopadłe, a p3 i p4 równoległe. Prosta p3 z prostą p2 tworzy kąt 45 stopni. O - punkt przecięcia p1 i p2 A - -----------------p2 i p3 C - -----------------p2 i p4 OA = 5 cm AC = 3 * sqrt(2) cm Znaleźć na płaszczyźnie taki punkt S, dla którego suma odległości od tych czterech prostych jest liczbą możliwie najmniejszą. Gdzie leży punkt S? Czy jest więcej takich punktów? Podaj sumę odległości tego punktu od danych 4 prostych. |
| Marek Szyjewski
|
Posted: 13 Sty 2001 15:30:31 On Fri, 12 Jan 2001 20:30:58 +0500, "Bartosz Lewandowski" Bardzo szybko potrzegbuję pomocy przy rozwiązaniu tych kilku zadań.
Oprócz odpowiedzi proszę o krótkie uzasadnienie rozwiązania. Z góry dziękuję! Zadanie 1 Przy drodze znajduje sie 5 miejscowości A, B, C, d, E, o których wiadomo, że: z A do D jest 6km, z A do E jest 16km, z D do E jest22 km, z D do C jest 6 km i z A do B jest 16 km. Odległości mierzone są wzdłuż drogi. Wjakiej kolejności leżą te miejscowości przy drodze? W jednym przypadku: A, D, E sa podane wszystkie trzy odleglosci, wiec wniosek co do polozenia tych miejscowosci jest jasny. I okazuje sie, ze C musi byc po przeciwnej stronie D niz A, bo by na siebie wpadly miejscowosci A i C; zas zeby nie wpadly na siebie B i E, B musi byc... Zadanie 2 Kasia znalazła 6 liczb dwucyfrowych takich, że żadne trzy nie mogą być długościami boków trójkąta. Czy potrafisz także znaleźć 7 takich liczb dwucyfrowych? Oczywiscie, ze nie: najmniesza mozliwa liczba dwucyfrowa jest 10, a nastepna 11; kazda nastepna musi byc wieksza od sumy dwoch poprzednich, zeby nie byly bokami trojkata. Zadanie 3 Marek ma historyczne monety, które przechowuje w pudełkach. Ma on a pudełek, z których każde zawiera conajmniej jedną monetę; b pudełek , z których każde zawiera co najmniej 2 monety; c pudełek z co najmniej trzema monetami i d pudełek z których każde zawiera co najmniej 4 monety. Żadne pudełko nie zawiera więcej niż 4 monety. Ile monet ma Marek? Jedna moneta jest a-b pudelkach, dwie - w b - c pudelkach, trzy - w c-d pudelkach, cztery - w d pudelkach. Pozostaje dodac do siebie liczby moinet: 1*(a-b) + 2*(b-c) + 3*(c-d) + 4d = a+b+c+d. Zadanie 4 Julek narysował na płaszczyźnie pewną liczbą linii prostych kolorem czerwonym, a potem kolorem zielonym dorysował o jedną linię więcej niż kolorem czerwonym. Następnie kolorem niebieskim narysował dodatkowo o jedną linię więcej niż kolorem zielonym. Każde dwie z narysowanych prostych przecinały się, ale żadne trzy nie przechodziły przez ten sam punkt. Julek zauważył, że wśród trójkątów utworzonych przez te proste , 6 ma każdy bok innego koloru. Ile linii prostych narysował Julek? Kazda trojka prostych roznych kolorow wyznacza taki trojkat. Zatem liczba trzykolorowych trojkatow jest iloczynem liczb prostych kazdego koloru i te liczby sa kolejnymi liczbami naturalnymi. 6 = 1*2*3 Zadanie5 Czy istnieje liczba naturalna a taka, że a*a + 1996 jest kwadratem liczby naturalnej? Liczbe naturakna 1996 trzeba przedstawic jako b^2 - a^2 = (b-a)(b+a). Liczby a^2 i b^2 musza byc tej samej parzystosci (bo 1996 jest parzyste), wiec a i b musza byc tej samej parzystosci, a wiec oba czynniki a-b i a+b musza byc parzyste. Rozkladamy liczbe 1996 na iloczyn dwoch czynnikow parzystych, 1996 = 2*998 i obliczamy b, a z ukladu rownan b-a = 2, b+a = 998. Zadanie6 Długość boku kwadratu wyraża się całkowitą liczbą centymetrów. Pewien punkt wewnętrzny kwadratu ma całkowitoliczbowe odległości od dwóch nierównoległych boków kwadratu oraz od wierzchołka wsólnego dla dwóch boków pozostałych. Suma tych trzech odległości jest równa 10 cm. Oblicz pole kwadratu. Niech a,b,c spelniaja rownanie Pitagorasa: a^2 + b^2 = c^2. Obliczamy liczbe x ze wzoru x = (10 +a + b - c)/2 W kwadracie o boku x punkt odlegly o 10 - a od jedngo boku, a o 10-b od sasiedniego jest odlegly o c od punktu przeciecia pozostalych bokow i x - a + x - b + c = 10. Trzeba tylko podac wszystkie rozwiazania rownania Pitagorasa, w ktorych a i b nie przekraczaja 10. Sa dwie takie trojki i dwa takie kwadraty. Z powazaniem Marek Szyjewski My, samotnicy, powinnismy trzymac sie razem! |
| Rymaś
|
Posted: 12 Sty 2001 21:30:17 Zadanie 1
Przy drodze znajduje sie 5 miejscowości A, B, C, d, E, o których wiadomo, że: z A do D jest 6km, z A do E jest 16km, z D do E jest22 km, z D do C jest 6 km i z A do B jest 16 km. Odległości mierzone są wzdłuż drogi. Wjakiej kolejności leżą te miejscowości przy drodze? Mamy 5 miejscowości. najpierw zakładamy, że nie mogą się one pokrywać, poniewać wtedy zmniejszyła by się de facto liczba naszych miejscowości. |AD|=6 KM |AE|=16 KM |DE|=22 KM Z tego wniosek, że miejscowość A leży pomiędzy D i E, ponieważ |AE|+|AD|=|DE| teraz |DC|=6 km. Z powodu, że |AD|=6 km także, czyli miasto C jest po przeciwnej stronie co A (patrząc z D) |AB|=16 km, tutaj musimy zwrócić uwagę, że również |AE|=16 km. Wiemy więc, że tak jak to było z miejscowością C, tak samo jest i z B, więc jest ono po innej stronie niż E (patrząc z A) odpowiedź: B 4KM C 6KM D 6KM A 16KM E Zadanie 3
Marek ma historyczne monety, które przechowuje w pudełkach. Ma on a pudełek, z których każde zawiera conajmniej jedną monetę; b pudełek , z których
każde zawiera co najmniej 2 monety; c pudełek z co najmniej trzema monetami i d
pudełek z których każde zawiera co najmniej 4 monety. Żadne pudełko nie zawiera więcej niż 4 monety. Ile monet ma Marek? suma w a pudełdach=a*1 lub a*2 lub a*3 lub a*4 suma w b pudełkach=b*2 lub b*3 lub b*4 suma w c pudełkach=c*3 lub c*4 suma w d pudełkach=d*4 suma wynosi: a+2b+3c+4d lub a+2b+4c+4d lub a+3b+3c+4d lub a+3b+4c+4d lub a+4b+3c+4d lub a+4b+4c+4d lub 2a+2b+3c+4d lub 2a+2b+4c+4d lub 2a+3b+3c+4d lub 2a+3b+4c+4d lub 2a+4b+3c+4d lub 2a+4b+4c+4d lub 3a+2b+3c+4d lub 3a+2b+4c+4d lub 3a+3b+3c+4d lub 3a+3b+4c+4d lub 3a+4b+3c+4d lub 3a+4b+4c+4d lub 4a+2b+3c+4d lub 4a+2b+4c+4d lub 4a+3b+3c+4d lub 4a+3b+4c+4d lub 4a+4b+3c+4d lub 4a+4b+4c+4d. Liczba monet należy do zbioru domkniętego z obu stron o elementach naturalnych: <a+2b+3c+4d;4(a+b+c+d) Zadanie5
Czy istnieje liczba naturalna a taka, że a*a + 1996 jest kwadratem liczby naturalnej? TAKA LICZBA ISTNIEJE, PONIEWAŻ B*B-A*A=1996 (B-A)(B+A)=1996 TERAZ SZUKAMY LICZB, KTÓRE SĄ DZIELNIKIEM LICZBY 1996 I PODSTAWIAMY POD B-A I A+B B-A=1 A+B=1996 B=A+1 2A+1=1996, CO NIE DA LICZBY CAŁKOWITEJ B-A=2 A+B=1996/2=998 B=A+2 2A+2=998 A=498 B=500 |
| Bartosz Lewandowski
|
Posted: 14 Sty 2001 14:32:16 Bardzo, bardzo dziekuje!!! pozdrowienia Barth |