Liczby trojkatne czyli piramidalny problem

Matma / Liczby trojkatne czyli piramidalny problem

Autor	Wiadomość
	Posted: 8 Sty 2001 12:40:57 Mam problem na bazie tzw "liczb trokatnych". Sa to sumy kolejnych naturalnych czyli 1, 2, 3, 6, 10 itd. Czyli liczby, ktore moga opisac ilosc np. kukek w piamidce. Problem: jak policzyc szybko (najlepiej maszynowo) czy z danej ilosci kulek da sie ulozyc "piramidke" i o ilu kulkach w podstawie. Szerzej : Jak sprawdzic to samo ale dla 3 -wymiarowej piramidki, albo czy mozna zbudowac piramidke ze "scietym" wierzcholkiem i ilopietrowa (z nieparzystych liczb oczywiscie zawsze mozna - dwupietrowa w 2d)
Przemyslaw Kwiatkowski	Posted: 8 Sty 2001 13:33:57 Hej doormat! Odpowiedź na list z dnia Monday, January 08, 2001, 1:40:57 PM: Mam problem na bazie tzw "liczb trokatnych". Sa to sumy kolejnych naturalnych czyli 1, 2, 3, 6, 10 itd. 2? Czy jesteś tego absolutnie pewien? ;-) Czyli liczby, ktore moga opisac ilosc np. kukek w piamidce. Chyba raczej w trójkącie. :-) Problem: jak policzyc szybko (najlepiej maszynowo) czy z danej ilosci kulek da sie ulozyc "piramidke" i o ilu kulkach w podstawie. Mamy daną liczbę całkowitą dodatnią a, o której nie wiemy, czy jest trójkątna. Kolejne liczby trójkątne są postaci 1+2+3+...+n, czyli n-ta liczba trójkątna to n(n+1)/2. Zatem jeśli a jest liczbą trójkątną, to równanie: n(n+1)/2 = a ma rozwiązanie całkowite dodatnie. Jest ono za razem ilością kulek w podstawie. Równanie powyższe można uprościć do postaci: n^2 + n - 2a = 0 Wyróżnik delta tego równania wynosi 8a+1 i jest zawsze dodatni, zatem równanie zawsze ma dwa pierwiastki: n1 = (-1-sqrt(8a+1))/2 n2 = (-1+sqrt(8a+1))/2 n1 jest zawsze ujemne, rozpatrujemy więc tylko pierwiastek n2, o którym wiemy, że jest dodatni. Jest on całkowity, gdy (-1+sqrt(8a+1)) jest liczbą parzystą, a aby to zaszło sqrt(8a+1) musi być liczbą nieparzystą. Ostateczny wniosek: a jest liczbą trójkątną, gdy sqrt(8a+1) jest liczbą nieparzystą. Przykłady: a=1 = sqrt(8a+1)=3 = a jest trójkątna a=2 = sqrt(8a+1)=4,1231... = a nie jest trójkątna a=3 = sqrt(8a+1)=5 = a jest trójkątna
	Posted: 9 Sty 2001 08:21:54 Hej doormat! Odpowiedź na list z dnia Monday, January 08, 2001, 1:40:57 PM: Mam problem na bazie tzw "liczb trokatnych". Sa to sumy kolejnych naturalnych czyli 1, 2, 3, 6, 10 itd. 2? Czy jesteś tego absolutnie pewien? ;-) Moja wina, moja wina.. ;-) Czyli liczby, ktore moga opisac ilosc np. kukek w piamidce. Chyba raczej w trójkącie. :-) Jak kiedys tlumaczylem, ze w trokacie to jedna osona chciala zwiekszac o 2 i stad piramidka i kulki Problem: jak policzyc szybko (najlepiej maszynowo) czy z danej ilosci kulek da sie ulozyc "piramidke" i o ilu kulkach w podstawie. Mamy daną liczbę całkowitą dodatnią a, o której nie wiemy, czy jest trójkątna. Kolejne liczby trójkątne są postaci 1+2+3+...+n, czyli n-ta liczba trójkątna to n(n+1)/2. Zatem jeśli a jest liczbą trójkątną, to równanie: n(n+1)/2 = a ma rozwiązanie całkowite dodatnie. Jest ono za razem ilością kulek w podstawie. Równanie powyższe można uprościć do postaci: n^2 + n - 2a = 0 Wyróżnik delta tego równania wynosi 8a+1 i jest zawsze dodatni, zatem równanie zawsze ma dwa pierwiastki: n1 = (-1-sqrt(8a+1))/2 n2 = (-1+sqrt(8a+1))/2 n1 jest zawsze ujemne, rozpatrujemy więc tylko pierwiastek n2, o którym wiemy, że jest dodatni. Jest on całkowity, gdy (-1+sqrt(8a+1)) jest liczbą parzystą, a aby to zaszło sqrt(8a+1) musi być liczbą nieparzystą. Ostateczny wniosek: a jest liczbą trójkątną, gdy sqrt(8a+1) jest liczbą nieparzystą. Przykłady: a=1 = sqrt(8a+1)=3 = a jest trójkątna a=2 = sqrt(8a+1)=4,1231... = a nie jest trójkątna a=3 = sqrt(8a+1)=5 = a jest trójkątna Dobrze a czy moglbys cos na temat tych ze "scietymi" wierzcholkami?
Przemyslaw Kwiatkowski	Posted: 9 Sty 2001 17:05:17 Hej doormat! Odpowiedź na list z dnia Tuesday, January 09, 2001, 9:21:54 AM: Ostateczny wniosek: a jest liczbą trójkątną, gdy sqrt(8a+1) jest liczbą nieparzystą. Dobrze a czy moglbys cos na temat tych ze "scietymi" wierzcholkami? b - liczba, o której chcemy się dowiedzieć, czy jest "ścięta". (dalej już bez cudzysłowu) Jeśli b jest ścięta, to istnieje jakaś liczba trójkątna a, która jest jej "dopełnieniem" do pełnej liczby trójkątnej. Zachodzi więc: sqrt(8b+8a+1) = 2k+1 Badamy więc kolejne liczby trójkątne a<b. Jeśli w którymkolwiek wypadku powyższa równość zachodzi, to liczba b jest ścięta.
Marek Szyjewski	Posted: 9 Sty 2001 19:17:02 Mam problem na bazie tzw "liczb trokatnych". Sa to sumy kolejnych naturalnych czyli 1, 2, 3, 6, 10 itd. Czyli liczby, ktore moga opisac ilosc np. kukek w piamidce. Problem: jak policzyc szybko (najlepiej maszynowo) czy z danej ilosci kulek da sie ulozyc "piramidke" i o ilu kulkach w podstawie. Szerzej : Jak sprawdzic to samo ale dla 3 -wymiarowej piramidki, albo czy mozna zbudowac piramidke ze "scietym" wierzcholkiem i ilopietrowa (z nieparzystych liczb oczywiscie zawsze mozna - dwupietrowa w 2d)


° Forum ° Odpowiedz ° Rejestracja ° Szukaj °