  |
|
| ° Forum ° Odpowiedz ° Rejestracja ° Szukaj ° | |
| samochody ciężarowe ° Auto giełda ° Sprzedam motocykle ° |
|
|
| ° Forum ° Odpowiedz ° Rejestracja ° Szukaj ° | |
| samochody ciężarowe ° Auto giełda ° Sprzedam motocykle ° |
 |
Matma / Male, a cieszy (1) -- akjomaty przestrzeni metrycznej |
| . 1 . 2 . >> |
| Autor | Wiadomość |
| Włodzimierz Holsztyński
|
Posted: 4 Sty 2001 22:22:25 Niech X bedzie dowolnym zbiorem. Funkcja rzeczywista d : X x X -- R nazywa sie metryka/ (lub dystansem), gdy spelnia 3 aksjomaty: (1) d(x y) + d(y z) / d(x z) (2) d(x y) = d(y x) (3) d(x y) = 0 <== x = y dla dowolnych x y z in X. -------------------------------------------------- TWIERDZENIE d(x y) / 0 dla dowolnych x y in X. -------------------------------------------------- Dowod pozostawiam szanownym uczestnikom. Dodam tylko, ze wiele tekstow matematycznych irytyje mnie, bo oprocz aksjomatrow 1-3 zaklada takze, ze d(x y) / 0. A to przeciez wynika z 1-3. Pozdrawiam, Wlodek Sent via Deja.com http://www.deja.com/ |
| Krzysztof Parzyszek
|
Posted: 5 Sty 2001 15:48:16 --------------------------------------------------
TWIERDZENIE d(x y) / 0 dla dowolnych x y in X. -------------------------------------------------- Twierdzenie to przesada. To prosty wniosek. 0 = d(x,x) <= d(x,y)+d(y,x) = d(x,y)+d(x,y) = 2d(x,y) czyli d(x,y) = 0. Podobnie jest z aksjomatami p-ni topologicznej. Z reguly zaklada sie, ze zbior pusty i cala przestrzen sa otwarte, choc wynika to z pozostalych aksjomatyow (dowolna suma i skonczone przeciecie). |
| Krzysztof Parzyszek
|
Posted: 5 Sty 2001 15:52:13 Dodam tylko, ze wiele tekstow matematycznych irytyje mnie, bo oprocz aksjomatrow 1-3 zaklada takze, ze d(x y) / 0. A to przeciez wynika z 1-3. Podobnie jest z aksjomatami p-ni topologicznej. To, ze zbior pusty i cala przestrzen sa otwarte wynika z pozostalych aksjomatow. |
| Włodzimierz Holsztyński
|
Posted: 5 Sty 2001 17:22:58 --------------------------------------------------
TWIERDZENIE d(x y) / 0 dla dowolnych x y in X. -------------------------------------------------- Twierdzenie to przesada. To kwestia gustu. Jest miejsce w kazdej czynnosci na aspekt artystyczny. To samo stwierdzenie moze w jednym kontekscie byc uwaga/ bez zadnego podkreslenia ani ocyfrowania na marginesie, a w innym TWIERDZENIEM. Zalezy kiedy, po co i dlaczego sie pisze. Wspomne, ze I.Kaplansky napisal we wstepie do swojej monografii o pierscieniach, ze ma dosyc wszystkich lematow i "propositions", po czym wszystkie stwierdzenia ponumerowal jako kolejne Twierdzenia. To prosty wniosek.
0 = d(x,x) <= d(x,y)+d(y,x) = d(x,y)+d(x,y) = 2d(x,y) czyli d(x,y) = 0. Prosciej nie wprowadzac "y". Ale owszem, dowod jest jak sie patrzy. Podobnie jest z aksjomatami p-ni topologicznej. Z reguly
zaklada sie, ze zbior pusty i cala przestrzen sa otwarte, choc wynika to z pozostalych aksjomatow (dowolna suma i skonczone przeciecie). Analogia jest minimalna. W podanym przeze mnie przypadku, choc prostym, ma sie przyjemnosc z pewnej mini-dzialalnosci matematycznej. Mozna pokazac na przykladach, ze wszystkie 3 akjomaty sa istotne dla wyprowadzenia nieujemnosci metryki. W wypadku topologicznym kazda z 2 (podobnych, dualnych) obserwacji Bourbakiego jest natychmiastowym, trywialnym wnioskiem z odpowiedniej definicji. Na dodatek kwestia aksjomatu przeciecia jest nieco metna, w podtekscie zaklada sie rzeczy, ktorych nie widac golym okiem. Dlatego moje wlasne sformulowanie aksomatu o przecieciu zbioro otwartych w przestrzeni (X T) wyglada nastepujaco: (*) X cap Cap (g) in T dla dowolnej skonczonej rodziny g zawartej w T. Kosztem dodania "X cap " uzyskalem czysta/ forme/ aksjomatu, elegancka/, nie wymagajaca dodatkowych konstrukcji mnogosciowych ani omowien na zapleczy sceny. Oczywiscie, z aksjomatem unii nie ma podobnego klopotu. Zbior pusty jest absolutny, podczas gdy "universe" X tylko relatywny. Zreszta wystapila u mnie kiedys konstrukcja, w ktorej zbior minimalny ("pusty") tez nie byl absolutny, zmienial sie wraz z przestrzenia. Dostaje sie pelna dualnosc, znowu elegancko. Ba, nawet nie musi byc zbioru mionimalnego wsrod otwartych, gdy rozpatruje sie ogolna teorie. Wtedy co prawda wychodz takze poza zbiory punktowe i zajmuje sie algebra (teoria/ struktur Birkhoffa wzbogacona/ o dodatkowa/ operacje jakby implikacji, inaczej niz kiedys robil to Prof. Kazimierz Kuratowski, czasem ze wspolpracownikami). Pozdrawiam, Wlodek Sent via Deja.com http://www.deja.com/ |
| Maciej Bojko
|
Posted: 5 Sty 2001 17:47:34 Podobnie jest z aksjomatami p-ni topologicznej. To, ze zbior
pusty i cala przestrzen sa otwarte wynika z pozostalych aksjomatow. ? Nie wynika. Maciej Bójko |
| Włodzimierz Holsztyński
|
Posted: 5 Sty 2001 20:24:03 Podobnie jest z aksjomatami p-ni topologicznej. To, ze zbior pusty i cala przestrzen sa otwarte wynika z pozostalych aksjomatow. ? Nie wynika. Maciej Bójko Wszystko zalezy od konwencji. Jeszcze jeden powod, dla ktorego nie warto bylo wspominac tego przy okazji aksjomatow przestrzeni metrycznej, analogia jest nikla. Poniewaz unia pustego zbiotu (t.zn. pustej rodziny zbiorow) juest pusta, to otwartosc zbiory pustego wynika z aksjomatu o otwartosci unii dowlonej rodziny zbiorow otwartych. W wypadku przeciecia sytuacja jest nieco bardziej zlozona. Przecieciem pustego zbioru, wedlug obecnie chyba najpopularniejszej wersji teorii mnogosci, jest klasa (nie zbior) wszystkich zbiorow. Tymczasem Bourbaki twierdzi, ze gdy lokalnie dzialamy w ramach ustalonego zbioru X, traktowanego jako ustalone chwilowo uniwersum, to przecieciem bedzie nie cale uniwersum, lecz X. Sprowadza sie to do tworzenia specjalnej operacji przeciecia dla kazdego chwilowego uniwersum X, co jest niewygodne i mylace, gdy mamy doczynienia z wieloma przestrzeniami i podprzestrzeniami. Na przyklad, gdyby przy znaczku przeciecia dodawac malo na ogol potrzebne uscislenie w postaci indeksu X, to teksty stalyby sie o wiele mniej czytelne. To jest wiecej niz tylko kwestia cztelnosci, jest to znak slabosci pojecia. Dlatego prosciej zachowac uniwersalne pojecie przseciecia, a aksjomat sformulowac tak, jak to napisalem w poprzednim liscie dajac "X cap" przed "Cap g" (" cap" i "Cap" to dwie zwiazane, ale bardzo rozne operacje -- cap jest binarny, Cap -- unarny). Pozdrawiam, Wlodek Sent via Deja.com http://www.deja.com/ |
| Maciej Bojko
|
Posted: 5 Sty 2001 23:24:15 On Fri, 05 Jan 2001 20:24:03 GMT, Włodzimierz Holsztyński Wszystko zalezy od konwencji. Jeszcze jeden powod, dla
ktorego nie warto bylo wspominac tego przy okazji aksjomatow przestrzeni metrycznej, analogia jest nikla. Poniewaz unia pustego zbiotu (t.zn. pustej rodziny zbiorow) juest pusta, to otwartosc zbiory pustego wynika z aksjomatu o otwartosci unii dowlonej rodziny zbiorow otwartych. Unia zbioru? Pierwszy raz slysze taka terminologie. Masz moze na mysli sume zbiorow? W dalszym ciagu - otwartosc zbioru pustego stad nie wynika. W wypadku przeciecia sytuacja jest nieco bardziej zlozona.
Przecieciem pustego zbioru, wedlug obecnie chyba Co to jest przeciecie zbioru? Uzywasz jakiejs dziwnej grypsery. Maciej Bójko |
| . 1 . 2 . >> |