  |
|
| ° Forum ° Odpowiedz ° Rejestracja ° Szukaj ° | |
| samochody ciężarowe ° Auto giełda ° Sprzedam motocykle ° |
|
|
| ° Forum ° Odpowiedz ° Rejestracja ° Szukaj ° | |
| samochody ciężarowe ° Auto giełda ° Sprzedam motocykle ° |
 |
Matma / logarytm naturalny ln versus szereg harmoniczny |
| Autor | Wiadomość |
| Włodzimierz Holsztyński
|
Posted: 4 Sty 2001 22:14:25 -- Wyprowadze znane nierownosci. Nastepnie proponuje zabawe w ich zaostrzanie. Mozemy zaczac od: (1+1/n)^n < e < (1+1/n)^(n+1) dla n = 1 2 ... Stad: 1/(n+1) < ln(n+1) - ln(n) < 1/n Zsumujmy po n od 1 do N-1: Wzor 1: --------------------------------------------------------- 1/2 + 1/3 + ... + 1/N < ln(N) < 1/1 + 1/2 + ... + 1/(N-1) --------------------------------------------------------- dla kazdego N = 2 3 ... Mozemy tez na ten wzor patrzec jako na oszacowanie sumy harmonicznej: Wzor 2: ----------------------------------------------- ln(N+1) < 1/1 + 1/2 + ... + 1/N < 1 + ln(N) ----------------------------------------------- (O, dostalismy ln(N) < ln(N+1) < 1 + ln(N), hej! :-) Mozna dokladniej przyjrzec sie funkcjo exp(x) = e^x, by uzyskac wzory dokladniejsze nic 1 i 2. Latwiej, bez specjalnego przygotowania, wyjsc od wzoru: ln(x) = Calka( 1/t : t=1 do x) Dla x=N bedacego liczba naturalna, dolne i gorne sumy Riemanna dla podzialu przedzialu [1 N] na odcinki [n n+1] dla n=1 ... N-1, daja wzory 1 i 2. Widzimy jak prymitywna jest nasza metoda i jak niedokladne sa oszacowania dane wzorami 1 i 2. Za pomoca elementarnej geometrii i minimum analizy matematycznej mozna teraz dostac znacznie lepsze wzory -- wystarczy nieco dokladniej przyjrzec sie krzywej y=1/x i calce. Wiem z doswiadczenia, ze jest to mila zabawa. Zapraszam, Wlodek Sent via Deja.com http://www.deja.com/ |