  |
|
| ° Forum ° Rejestracja ° Szukaj ° | |
| Auto giełda ° wnętrzowe stacje transformatowe |
 |
Matma / macierze |
| << . 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 . 7 . >> |
| Autor | Wiadomość |
| Poskrobko
|
Posted: 9 Mar 2000 05:47:34 Moje notatki z wykladu:
Def: Dla dowolnej m. kwadratowej A e M(n) (tzn. n na n) 1) A^0 = I(n) (jednostkowa n na n) 2) A^1 = A 3) A^k = (A^(k-1))*A , k=1 I to jest definicja? Przeciez 2) wynika jednoznacznie z 1) i 3): A^1 = [pkt. 3] (A^0)*A = [pkt.1] I * A = [wlasnosci macierzy] A, czyli rownosc z punktu 2). Teraz dopiero zwrocilem na to uwage. Racja. Przepisalem bezmyslnie - ale niestety tak nam podali. Przepraszam. Pozdrawiam Kuba Poskrobko |
| Pawel F. Gora
|
Posted: 10 Mar 2000 11:23:31 W czym miałaby przeszkadzać degeneracja wartości własnych M? Zupełnie tego nie widzę. W jednoznaczności A kto powiedział, że operacja miałaby być jednoznaczna? Oryginalne pytanie dotyczyło "podniesienia M do potęgi 1/2", w mojej konstrukcji oparłem się więc o twierdzenie spektralne. Dla uproszczenia ograniczę się teraz do operatorów hermitowskich o widmie dyskretnym. Dla nich rozkład spektralny redukuje się do (1) M = sum_l l P_l gdzie suma idzie tylko po RÓŻNYCH wartościach własnych l, P_l oznaczają operatory rzutowe na podprzestrzenie niezmiennicze odpowiadające poszczególnym l. Jeśli nawet M ma zdegenerowane wartości własne, to P_l i tak są wyznaczone jednoznacznie. (Wewnątrz swojej przestrzeni niezmienniczej M działa jak l*jedynka_tej_podprzestrzeni, więc rózne wybory bazy w tej podprzestrzeni nie wnoszą nic nowego.) Teraz jeśli f jest analityczna, to f(M) mogę zdefiniować jako sumę odpowiedniego szeregu potęgowego z argumentami macierzowymi zamiast liczbowych. Okazuje się, że tak skonstruowane f(M) pokrywa się z f_s(M) zdefiniowanym jako (2) f_s(M) = sum_l f(l) P_l (por. (1)). Potęga (.)^(1/2) nie jest analityczna, ale wybierając jakąś konkretną gałąź pierwiastka mogę zdefiniować (3) M^(1/2) = sum_l l^(1/2) P_l gdzie wszystkie l^(1/2) obliczane są na wybranej gałęzi. Teraz mogę dodać komplikacje wynikające z tego, że moja macierz niekoniecznie musi być hermitowska itp i zdefiniować sobie "M^(1/2) w myśl twierdzenia spektralnego". W tym duchu szła moja konstrukcja. Natomiast uwaga Kordiana i podany przez niego przykład macierzy Pauliego [wstyd, że sam na to nie wpadłem :-(] świadczą o tym, że równanie macierzowe (3) X X = M może niekiedy mieć nietrywialne i "niespektralne" rozwiązania. (Mam nadzieję, że się w powyższym jakoś paskudnie nie rąbnąłem. Nawet jeśli się nie rąbnąłem, to matematycy i tak pewnie padną trupem widząc _jak_ fizyk używa twierdzenia spektralnego :-) Paweł Góra Institute of Physics, Jagellonian University, Cracow, Poland A physical entity does not do what it does because it is what it is, but is what it is because it does what it does. |
| Marcin
|
Posted: 24 Mar 2000 09:21:27 Moje pytanie dotyczy rownan macierzowych i jest bardzo proste (no coz ja tego nie wiem). Jezeli mamy macierze A i B, to A*B jest rozne od B*A; tak? Jak to wyglada w przypadku rownania: czy wtedy obliczam: X=A^-1 * B, czy Co gdy mam: z gory wielkie dzieki |
| waldemar
|
Posted: 24 Mar 2000 12:23:43 Moje pytanie dotyczy rownan macierzowych i jest bardzo proste (no coz ja
tego nie wiem). Jezeli mamy macierze A i B, to A*B jest rozne od B*A; tak? Jak to wyglada w przypadku rownania: czy wtedy obliczam: X=A^-1 * B, czy Co gdy mam: z gory wielkie dzieki musisz mnozyc z tej strony co trzeba, czyli a Waldek |
| Paweł Kapłański
|
Posted: 16 Sier 2000 16:09:19 Mam pytanie nastepujace: Czy istnieje jakies twierdzenie pozwalajace okreslic kiedy i jakie macierze kwadratowe (dowolnego stopnia) mnoza sie przemiennie?. Jest to mi niezwykle potrzebne, wiec z gory dziekuje. Kaplan |
| Marek Szyjewski
|
Posted: 18 Sier 2000 14:38:25 On Wed, 16 Aug 2000 18:09:19 +0200, "Paweł Kapłański" Mam pytanie nastepujace:
Czy istnieje jakies twierdzenie pozwalajace okreslic kiedy i jakie macierze kwadratowe (dowolnego stopnia) mnoza sie przemiennie?. Jest to mi niezwykle potrzebne, wiec z gory dziekuje. Kaplan Jesli A jest macierza kwadratowa stopnia n, to na pewno sa z nia przemienne wszystkie kombinacje liniowe jej poteg: I = A^0, A, A^2, ..., A^(n-1) (A^n i wieksze potegi sa juz kombinacjami liniowymi wypisanych z tw. Cayley - Hamiltona). Dla "prawie wszystkich" macierzy A to sa wszystkie macierze z nia przemienne - te macierze A, ktore maja wiecej przemiennych z A tworza zbior algebraiczny. Np. dla klatek Jordana (i macierzy, ktorych postac kanoniczna ma jedna klatke Jordana) te kombinacje liniowe poteg, to wszystkie z nia przemienne. Macierze wspolnie sprowadzalne do postaci kanonicznej z jednakowa struktura klatek Jordana sa ze soba przemienne (A i B sa wspolnie sprowadzalne do postaci kanonicznej, gdy istnieje jedna macierz P taka, ze PAP^(-1) i PBP^(-1) sa kanoniczne). Z powazaniem Marek Szyjewski My, samotnicy, powinnismy trzymac sie razem! |
| Paweł Kapłański
|
Posted: 18 Sier 2000 21:58:32 On Wed, 16 Aug 2000 18:09:19 +0200, "Paweł Kapłański"
Mam pytanie nastepujace: Czy istnieje jakies twierdzenie pozwalajace okreslic kiedy i jakie macierze kwadratowe (dowolnego stopnia) mnoza sie przemiennie?. Jest to mi
niezwykle potrzebne, wiec z gory dziekuje.
Kaplan Jesli A jest macierza kwadratowa stopnia n, to na pewno sa z nia przemienne wszystkie kombinacje liniowe jej poteg: I = A^0, A, A^2, ..., A^(n-1) (A^n i wieksze potegi sa juz kombinacjami liniowymi wypisanych z tw. Cayley - Hamiltona). Dla "prawie wszystkich" macierzy A to sa wszystkie macierze z nia przemienne - te macierze A, ktore maja wiecej przemiennych z A tworza zbior algebraiczny. Np. dla klatek Jordana (i macierzy, ktorych postac kanoniczna ma jedna klatke Jordana) te kombinacje liniowe poteg, to wszystkie z nia przemienne. Macierze wspolnie sprowadzalne do postaci kanonicznej z jednakowa struktura klatek Jordana sa ze soba przemienne (A i B sa wspolnie sprowadzalne do postaci kanonicznej, gdy istnieje jedna macierz P taka, ze PAP^(-1) i PBP^(-1) sa kanoniczne). Z powazaniem Marek Szyjewski My, samotnicy, powinnismy trzymac sie razem! Czy moglby Pan wyjasnic mi co to sa klatki Jordana lub ewentualnie odeslac do literatury? z powazaniem Kaplan |
| << . 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 . 7 . >> |