  |
|
| ° Forum ° Rejestracja ° Szukaj ° | |
| samochody ciężarowe ° Auto giełda ° Sprzedam motocykle ° |
 |
Matma / niebanalny problem |
| Autor | Wiadomość |
| Tomek
|
Posted: 24 Kwi 2000 00:42:40 Witam wszystkich serdecznie, aszczegolnie Marka Szyjewskiego. Jest takie zadanko, ktore chodzilo po matematyce UW okolo roku 82 i z tego co mi wiadomo nikt go wtedy nie ugryzl. Wiesc gminna nesie, ze istnieje dowod elemntarny. Mamy podzbior plaszczyzny o polu <=1. Dla skupienia uwagi mozna zalozyc, ze jest spojny i domkniety. Udowodnic, ze istnieje taka izometria tego zbioru, ze obraz jest rozlaczny ze zbiorem wszystkich ponktow plaszczyzny o wspolrzednych calkowitych. To nie jest zadne wyzwanie dla grupy: twierdzenie mi si wydaje ciekawe i po pewnym mysleniu intuicyjnie prawdziwe. Jak komus uda sie to ruszyc, to od razu narzuca sie proba uogolnienia na wyzsze wymiary i pytanie o koniecznosc zalozenia. Tomek Kowalski |
| Andrzej Komisarski
|
Posted: 25 Kwi 2000 23:25:09 Jest takie zadanko, ktore chodzilo po matematyce UW okolo roku 82 i z tego
co mi wiadomo nikt go wtedy nie ugryzl. Wiesc gminna nesie, ze istnieje dowod elemntarny. Mamy podzbior plaszczyzny o polu <=1. Dla skupienia uwagi mozna zalozyc, ze jest spojny i domkniety. Udowodnic, ze istnieje taka izometria tego zbioru, ze obraz jest rozlaczny ze zbiorem wszystkich ponktow plaszczyzny o wspolrzednych calkowitych. To nie jest zadne wyzwanie dla grupy: twierdzenie mi si wydaje ciekawe i po pewnym mysleniu intuicyjnie prawdziwe. Jak komus uda sie to ruszyc, to od razu narzuca sie proba uogolnienia na wyzsze wymiary i pytanie o koniecznosc zalozenia. Dla zbiorów o polu <1 problem jest banalny. Wtedy można nie tylko znaleźć izometrię j.w., ale nawet przesunięcie spełniające podany wyżej warunek. Jak to udowadnić? Nasz zbiór (oznaczam go jako A) leży na płaszczyźnie. Tniemy go liniami pionowymi (x=k, k całkowite) i poziomymi (y=l, l całkowite) na fragmenty A n ([k,k+1)x[l,l+1)), po czym wszystkie te fragmenty przesuwamy o wektory o współrzędnych całkowitych tak, by znalazły się w kwadracie [0,1)x[0,1). Ponieważ zbiór A ma pole mniejsze niż 1, więc fragmenty te nie wypełniają szczelnie kwadratu [0,1)x[0,1). Istnieje w tym kwadracie taki punkt (a,b), który nie jest elementem żadnego z nich. Jeśli teraz zbiór A przesuniemy o wektor (-a,-b), to tak przesunięty zbiór A nie zawiera punktów o współrzędnych całkowitych. Tutaj nie jest potrzebne założenie o domkniętości, spójności, itd. zbioru A. Wystarczy mierzalność. Argument przechodzi bez problemów na wyższe wymiary. Gdy A ma pole 1 (o ile dobrze pamiętam może też być większe, byle mniejsze od pi/2) same przesunięcia mogą nie wystarczyć i wszystko się komplikuje. |
| Marek Szyjewski
|
Posted: 27 Kwi 2000 17:32:20 [ciach] Gdy A ma pole 1 (o ile dobrze pamiętam może też być większe, byle mniejsze od pi/2) same przesunięcia mogą nie wystarczyć i wszystko się komplikuje. |