  |
|
| ° Forum ° Rejestracja ° Szukaj ° | |
| samochody ciężarowe ° Auto giełda ° Sprzedam motocykle ° |
 |
Matma / wyzwanie |
| << . 1 . 2 . |
| Autor | Wiadomość |
| Haszysz
|
Posted: 21 Kwi 2000 22:14:52 To zadanie bylo kilka lat temu na olimpiadzie miedzynarodowej. Nie wydaje mi sie, zeby bylo az tak latwe... pozdrawiam H. Witam, Troszke inaczej podszedlem do zadania. Liczylem takze na zmiennych. Umiescilem trojkat w ukladzie wspolrzednych. Ze wzgledu na wspolrzedne pnktu P (x,y) obliczylem cosinusy katow APB...itd. (budujac odpowiednie wektory). Nastepnie zastosowalem trzykrotnie tw. cosinusow, Przy odpowiednich przeksztalceniach rozwiazanie nie bylo az tak kosmiczne. Zastanawiaja mnie jednak te odleglosci od wierzcholkow. Musi byc jednak jakies prostsze rozwiazanie. Pozdrawiam, H. hmm, a moze zadanie zostalo przekrecone i chodzilo o boki a nie wierzcholki? a my sie teraz meczymy :-) Tom |
| Andrzej Komisarski
|
Posted: 22 Kwi 2000 07:38:06 To zadanie bylo kilka lat temu na olimpiadzie miedzynarodowej. Nie wydaje mi
sie, zeby bylo az tak latwe... W takim razie może jednak warto uznać to zadanie za ciekawe i je zrobić? Niech nasz trójkąt równoboczny nazywa się ABC, a rozważany punkt wewnętrzny P. Odległości P od A, B i C to odpowiednio a, b i c, czyli 57, 65 i 73m. Obróćmy nasz rysunek wokół punktu A o 60 stopni tak, żeby B przeszedł na C, C na jakieś D i P na jakieś Q. Wówczas trójkąt CPQ ma boki o długościach a,b,c oraz trójkąt APQ jest róbnoboczny, o boku długości a. Mamy znaleźć długość odcinka AC, którą oznaczam jako x. Wystarczy teraz skorzystać dwa razy z twierdzenia cosinusów: c^2=a^2+b^2-2ab*cosCQP x^2=a^2+b^2-2ab*cosCQA Z pierwszego wzoru wyznaczamy cosCQP (oraz sin CQP), po czym wyznaczamy Koniec końców dostajemy x=((a^2+b^2+c^2)/2-1/2*(6a^2b^2+6b^2c^2+6c^2a^2-3a^4-3b^4-3c^4)^(1/2))^(1/2), czyli x=112. Możliwa jest jeszcze sytuacja, że punkt o odległościach a,b,c od wierzchołków trójkąta leży na zewnątrz tego trójkąta. Wówszas wzór na x różni się jednym znakiem, a sam x wynosi 259^(1/2). Uwaga1: Na podstawie tego rozwiązania łatwo można znaleźć metodę konstrukcyjnego znalezienia boku trójkąta mając dane odcinki o długościach a,b,c. Uwaga2: Rozważmy trójkąt o bokach a,b,c. Znajdźmy taki punkt, że suma jego odległeści od wierzchołków tego trójkąta jest minimalna. Wówczas ta minimalna suma odległości jest równa długości boku trójkąta równobocznego z pierwotnie postawionego zadania. O ile pamiętam na MOMie są jednak trudniejsze zadania. Może ci się pomyliło i miałeś na myśli bałtyniadę lub austropol? |
| Haszysz
|
Posted: 22 Kwi 2000 21:50:16 Serdeczne dzieki za rozwiazanie. Zadanie na pewno jest z olompiady miedzynarodowej. Pozdrawiam, H. To zadanie bylo kilka lat temu na olimpiadzie miedzynarodowej. Nie wydaje mi sie, zeby bylo az tak latwe...
W takim razie może jednak warto uznać to zadanie za ciekawe i je zrobić? Niech nasz trójkąt równoboczny nazywa się ABC, a rozważany punkt wewnętrzny P. Odległości P od A, B i C to odpowiednio a, b i c, czyli 57, 65 i 73m. Obróćmy nasz rysunek wokół punktu A o 60 stopni tak, żeby B przeszedł na C, C na jakieś D i P na jakieś Q. Wówczas trójkąt CPQ ma boki o długościach a,b,c oraz trójkąt APQ jest róbnoboczny, o boku długości a. Mamy znaleźć długość odcinka AC, którą oznaczam jako x. Wystarczy teraz skorzystać dwa razy z twierdzenia cosinusów: c^2=a^2+b^2-2ab*cosCQP x^2=a^2+b^2-2ab*cosCQA Z pierwszego wzoru wyznaczamy cosCQP (oraz sin CQP), po czym wyznaczamy Koniec końców dostajemy x=((a^2+b^2+c^2)/2-1/2*(6a^2b^2+6b^2 c^2+6c^2a^2-3a^4-3b^4-3c^4)^(1/2))^(1/2), czyli x=112.
Możliwa jest jeszcze sytuacja, że punkt o odległościach a,b,c od wierzchołków trójkąta leży na zewnątrz tego trójkąta. Wówszas wzór na x różni się jednym znakiem, a sam x wynosi 259^(1/2). Uwaga1: Na podstawie tego rozwiązania łatwo można znaleźć metodę konstrukcyjnego znalezienia boku trójkąta mając dane odcinki o długościach a,b,c. Uwaga2: Rozważmy trójkąt o bokach a,b,c. Znajdźmy taki punkt, że suma jego odległeści od wierzchołków tego trójkąta jest minimalna. Wówczas ta minimalna suma odległości jest równa długości boku trójkąta równobocznego z pierwotnie postawionego zadania. O ile pamiętam na MOMie są jednak trudniejsze zadania. Może ci się pomyliło i miałeś na myśli bałtyniadę lub austropol? -- Andrzej Komisarski |
| Andrzej Komisarski
|
Posted: 23 Kwi 2000 08:14:53 Serdeczne dzieki za rozwiazanie.
Zadanie na pewno jest z olompiady miedzynarodowej. No to jeszcze jedno rozwiązanie. Oznaczenia, jak poprzednio: Trójkąt równoboczny to ABC, punkt wewnątrz to P, jego odległości od A,B,C to a,b,c. Odbijamy symetrycznie P: względem pr. AB dostając Pc, względem pr. BC dostając Pa, względem pr. CA dostając Pb. Kąt PaBPc=120 stopni, trójkąt PaBPc ma boki b,b,b*sqrt(3). Kąt PbCPa=120 stopni, trójkąt PbCPa ma boki c,c,c*sqrt(3). Kąt PcAPb=120 stopni, trójkąt PcAPb ma boki a,a,a*sqrt(3). Trójkąt PaPbPc ma boki a*sqrt(3),b*sqrt(3),c*sqrt(3). Z twierdzenia cosinusów znajdujemy cosPcPaPb (oraz sinPcPaPb). I wreszcie z twierdzenia cosinusów liczymy długość BC wiedząc, że PaB=b, PaC=c oraz CPaB=PcPaPb+60. |
| << . 1 . 2 . |