Zadanie na 6

Matma / Zadanie na 6

Autor	Wiadomość
Daniel Olkowski	Posted: 17 Kwi 2000 08:01:16 Prosze o pomoc w zadaniu Znalezc wszystkie liczby naturalne takie, ze x^4 - y^4 = 65 Pozdrawiam, Daniel Olkowski
Andrzej C.	Posted: 17 Kwi 2000 09:20:03 Prosze o pomoc w zadaniu Znalezc wszystkie liczby naturalne takie, ze x^4 - y^4 = 65 Pozdrawiam, Daniel Olkowski -- Archiwum listy dyskusyjnej pl-sci-matematyka Mozna rozlozyc x^4-y^4=(x^2-y^2)(x^2+y^2). Jak widac liczba 65 musi byc iloczynem dwoch liczb: 165 lub 513. Poniewaz suma kwadratów jest wieksz od roznicy ma dwa uklady rownan: x^2-y^2=1 x^2-y^2=5 x^2+y^2=65 x^2+y^2=13 Dodojac stronami rownania w kazdym ukladzie mamy: 2x^2=66 2*x^2=18 Wyliczmy x: x=Sqrt(33) x=3 Jak widac pierwsze rozwiazanie nie liczba naturalna dlatego rozwiazujemy drugi ukladu obliczajac "y": Odejmujac stronami: 2y^2=8=y=2 Para liczb x=3 i y=2 jest jedynym rozwiazaniem w zbiorze liczb naturalnych. Pozdrawiam, Andrzej C.
jacek k2312	Posted: 17 Kwi 2000 10:11:30 Znalezc wszystkie liczby naturalne takie, ze x^4 - y^4 = 65 Mozna pokazac, ze ogólnym rozwiazaniem równania a^2 b^2 = n gdzie NWD(a,b)=1 i n jest calkowita liczba dodatnia i nieparzysta, sa liczby a, b takie i tylko takie, ze a = (p + q)/2, b = (p q)/2, NWD(p,q) = 1, p q, n = pq (q moze byc równe 1) Zauwazmy, ze NWD(x,y)=1. [Gdyby NWD(x,y) = k 1, to k^4 byloby dzielnikiem liczby 65=513, co nie jest mozliwe]. Zatem a=x^2 i b=y^2 spelnia zalozenia powyzszego twierdzenia. Dlatego (65=513=165; p=13 i q = 1 lub p=65 i q=1) x^2 = (13+5)/2 = 9, skad x = 3 lub x = -3 y^2 = (13-5)/2 = 4, skad y = 2 lub y = -2 lub x^2 = (65+1)/2 = 33, brak rozwiazan w tym przypadku. Pozdrowienia, Jacek K. Sent via Deja.com http://www.deja.com/ Before you buy.
jacek k2312	Posted: 17 Kwi 2000 13:08:35 Mozna pokazac, ze ogólnym rozwiazaniem równania a^2 b^2 = n gdzie NWD(a,b)=1 i n jest calkowita liczba dodatnia i nieparzysta, sa liczby a, b takie i tylko takie, ze a = (p + q)/2, b = (p q)/2, NWD(p,q) = 1, p q, n = pq (q moze byc równe 1) PS A jesli ktos by sie was spytal o dowód powyzszego (ponizszego) twierdzenia "Na to aby liczby calkowite dodatnie p i q byly rozwiazaniami równania a^2 b^2 = n; a, b -- liczby calkowite; a b; nwd(a,b)=1; n 1, n liczba nieparzysta potrzeba i wystarcza, by a = (p+q)/2; b = (p-q)/2; p q; nwd(p,q) = 1" to mozecie przytoczyc nastepujacy dowód. Jesli p i q spelniaja warunki twierdzenia, to: a^2 b^2 = [(p+q)/2]^2 [(p-1)/2]^2 = pq = n Ponadto, kazdy dzielnik wspólny liczb a i b musi byc dzielnikiem zarówno ich sumy jak i róznicy, czyli liczb a+b i a-b odpowiednio. Ale a+b=(p+q)/2 + (p-q)/2 = p a-b = (p+q)/2 (p-q)/2 = q. Dlatego kazdy dzielnik wspólny liczb a i b musi byc dzielnikiem wspólnym liczb p i q. Ale nwd(p,q)=1 i dlatego nwd(a,b)=1. Odwrotnie, jesli a^2 b^2 = n i n jest liczba nieparzysta, to musi byc spelniona równosc a^2 b^2 = (a+b)(a-b) = n gdzie n 1 jest liczba calkowita nieparzysta. Oznaczajac p = a+b, q = a-b, mamy zatem n = pq. Poniewaz a b, to p q. Poniewaz liczba n jest liczba nieparzysta, to zarówno p jak i q musza byc takze liczbami nieparzystymi. Kazdy dzielnik wspólny liczb a+b i a-b musi byc takze dzielnikiem zarówno ich sumy jak i róznicy, czyli liczb 2a i 2b odpowiednio. Poniewaz nwd(a,b) =1, to jedynym dzielnikiem wspólnym liczb p=a+b i q=a-b moze byc tylko liczba 2. Ten przypadek musimy wykluczyc, gdyz liczby a+b i a-b sa liczbami nieparzystymi i dlatego nie moga miec dzielnika wspólnego równego 2. Dlatego nwd(p,q)=1. Rozwiazujac (dodajac i odejmujac stronami) uklad równan a+b = p a-b = q ze wzgledu na a i b mamy a = (p+q)/2 b = (p-q)/2 co konczy dowód. Sent via Deja.com http://www.deja.com/ Before you buy.


° Forum ° Rejestracja ° Szukaj °