  |
|
| ° Forum ° Rejestracja ° Szukaj ° | |
| samochody ciężarowe ° Auto giełda ° Sprzedam motocykle ° |
 |
Matma / Jak utworzyc poczatki nowej - bezblednej teorie mnogosci |
| . 1 . 2 . >> |
| Autor | Wiadomość |
| Foxtrot
|
Posted: 7 Kwi 2000 13:27:14 Mimo ze dyskusje z toba sa bardzo wyczerpujace (bez urazy) postanowilem napisac pare slow. Paradoksy typu zboir wszystkich zbiorow albo fryzjer to taki gosc ktory strzyze tych ktorzy nie strzyga sie sami to dosc ciekawe zagadnienie i z pewnoscia ma wiele wspolnego z twierdzeniem Goedla (chyba jakos tak sie to pisze). Ty jestes przekonany o wszechmocy ludzkiego umyslu i o kompletnosci naszej logiki, ale sama ta logika doprowadza do twierdzenia ktore mowi o tym ze nie jest ona kompletna, coz zatem pozostaje ?? Mozna tak jak ty siedziec w starej piaskownicy i udawac ze to caly swiat, mozna siedziec w tejze piaskownicy probujac jednak wysondowac co sie poza nia znajduje (ale trzeba sobie zdawac sprawe ze cos jest poza nia) chociazby sypiac piaskiem i czekajac na reakcje i mozna wreszcie sprobowac sie z tej piaskownicy wydostac. Sorki ale uwazam ze ty za wszelka cene nie chcesz zrozumiec ze swiat moze byc zbudowany w oparciu o zasady ktore nia maja u podstaw naszej piaskownicowej logiki. Wszystkie zjawiska kwantowe burza nasz misterny swiatopoglad oparty na wierze ze wszystko mozna wyjasnic logicznie. Chcesz zbudowac teorie bezbledna bez logicznych paradoksow, fajnie ale to przypomina probe zrobienia swiatlowodu dysponujac jedynie pudelkiem plasteliny. To fascynujace ze dysponujac tak ograniczonym narzedziem jak nasza logika mozemy ztwierdzic ze jest ona ograniczona, trzeba skorzystac z tej wiedzy, nie umiem powiedziec jak bo to zajecie dla naprawde niekonwencjonalnego i wielkiego zarazem umyslu ale byc moze da sie wyjsc na zewnatrz naszej przestrzeni pojeciowej. To jakos przypomina plaszczaka ktory nagle zrozumial ze jest trzeci wymiar i nauczyl sie w nim poruszac. Sorki za te brednie, z pewnoscia niewiele one tu wniosa, w kazdym razie motywem przewodnim tej mojej wypowiedzi jest: Zamiast narzekac na marna jakosc narzedzia zrob co masz zrobic tym co masz albo poszukaj lepszego, nie trac natomias czasu na wymyslaniu powodow dla ktorych jest ono jedynym nadajacym sie do tego celu. To brzmi troche jak wypowiedz nie na temat ale tylko pozornie. -- FOXTROT |
| patix
|
Posted: 8 Kwi 2000 23:00:50 W porzadku, matematyka jest pojemna i jezeli ktos go _spojnie zdefiniuje_ to moze uzywac nawet zbioru z rodowodem. Podkreslam: ^^^^^^^^^^^^^^^^ tak sobie wrzucilem na wyszukiwarke : cantor, set ,theory .... i co , siec jest pojemna i wyglada ze wszystko mozna znalezc : http://www.paias.com/pagesmat/noncant.htm The FUNDAMENTAL THEOREM Of NON-CANTORIAN SET CARDINALITY THEOREM: For any set S and any (non-null) x not in S, there exists no bijection between S U {x} and S. In standard terminology, for any set S and for any x not in S, |S U {x}||S|, i.e. the (more or less standardly defined) cardinality of S U {x} is greater than the cardinality of S. Equivalently, there exist no "transfinite" sets since one can derive a contradiction directly from their definition. This means that standard Set Theory is inconsistent, since this will be proven using only standard assumptions. Number theoretically, for all numbers n, finite or transfinite, n+1n. jak kto zainteresowany to dowod i pozostale twierdzenia tej teorii prosze przeczytac samodzielnie - na wlasne ryzyko pozdrawiam patix |
| Jakub Narebski
|
Posted: 9 Kwi 2000 11:19:40 W porzadku, matematyka jest pojemna i jezeli ktos go _spojnie zdefiniuje_ to moze uzywac nawet zbioru z rodowodem. Podkreslam: ^^^^^^^^^^^^^^^^ tak sobie wrzucilem na wyszukiwarke : cantor, set ,theory ....
i co , siec jest pojemna i wyglada ze wszystko mozna znalezc : http://www.paias.com/pagesmat/noncant.htm The FUNDAMENTAL THEOREM Of NON-CANTORIAN SET CARDINALITY
THEOREM: For any set S and any (non-null) x not in S, there exists no bijection
between S U {x} and S. In standard terminology, for any set S and for any x not in S, |S U {x}||S|, i.e. the (more or less standardly defined) cardinality of S U {x} is greater than the cardinality of S. I tu jest błąd. S u {x}, gdzie x otin S może być takiej samej mocy jak zbiór S. Przykład: S = N+ = {zbiór liczb naturalnych bez zera}, x = 0, S u {x} = {zbiór liczb naturalnych (z zerem)}, bijekcja ustalająca równoliczność f(n) = n-1. [ciach niezrozumiałe dywagacje] |
| Marcin Kysiak
|
Posted: 10 Kwi 2000 19:46:19 Nie wiem czy nie mozna tak przedefiniowac pojec teorii mnogosci
zeby nie istnialy w niej zbiory nieskonczone. W zasadzie nie trzeba przedefinowywac. Istnienie zbioru nieskonczonego gwarantowane jest aksjomatycznie (tak zwany aksjomat nieskonczonosci oznaczany w skrocie przez "Inf"). Mowi on mniej wiecej tyle: Istnieje S taki, ze 0 nalezy do S i dla kazdego x nalezacego do S rowniez x u{x} nalezy do S. Najmniejszy taki S (latwo sprawdzic, ze istnieje najmniejszy) to zbior liczb naturalnych. Pomijajac ten aksjomat w askjomatyce ZF otrzymujesz niesprzeczna teorie ZF-Inf (tak, tak: o tej teorii pelna teoria mnogosci dowodzi, ze jest niesprzeczna). Modelem tej teorii jest R(omega) - rodzina (czyli zbior!) wszystkich zbiorow dziedzicznie skonczonych. Dodatkowo wiadomo, ze teoria Zf-Inf i Arytmetyka Peano sa wzajemnie w sobie interpretowalne (czyli z grubsza rzecz biorac sa ta sama teoria wyrazona w roznych jezykach). Pozdrawiam MK |
| Marcin Kysiak
|
Posted: 10 Kwi 2000 19:46:20 Aksjomat ufundowania mowi, ze nie istnieje nieskonczony ciag zbiorow
X_n dla ktorego kazde zdanie "X_(n+1) jest elementem X_n" jest prawdziwe. Gdyby istnial zbior X ktory jest swoim wlasnym elementem, to ciag staly X_n = X przeczylby aksjomatowi ufundowania. Aksjomat ufundowania gra bardzo ciekawa role w teorii mnogosci: nawet bez pewnika wyboru wynika z aksjomatu ograniczenia (regularnosci), a aksjomat ograniczenia wynika z pewnika wyboru i aksjomatu ufundowania, przy czym nie da sie uniknac pewnika wyboru (tw. Mendelsona). Aksjomat ufundowania jest podstawa teorii liczb porzadkowych. Ta obfitosc zaleznych aksjomatow bierze sie stad, ze badano niesprzecznosc roznych ukladow aksjomatow. Np. w 1940 roku K. goedel udowodnil, ze jesli niesprzeczna jest "gola" teoria mnogosci GBN, to niesprzeczna jest rowniez teria mnogosci z pewnikiem wyboru, aksjomatem ograniczenia i uogolniona hipoteza continuum. W skroconych wykladach teorii mnogosci pomija sie aksjomat ograniczenia, bo oznacza on tyle, ze kazdy zbior wystepuje w tzw. hierarchii von Neumanna. Otoz bez zalozenia aksjomatu ograniczenia, ale po ograniczeniu wylacznie do zbiorow z hierarchii von Neumanna uzyskuje sie model teorii mnogosci GBN w ktorym zachodzi aksjomat ograniczenia. Ponadto sformulowania wymagaja uzycia indukcji pozaskonczonej. Zainteresowal mnie ten fragment. Czy moglbys dokladniej napisac co rozumiesz przez: 1. Aksjomat regularnosci 2. Aksjomat ograniczenia 3. Hierarchie von Neumanna Czy aksjomaty te wystepuja w teorii GBN? Przyznam, ze nie jestem z nia specjalnie oswojony, zawsze spotykalem sie z ZF i pochodnymi (ZFC, ZF-, itp.) Bo mam wrazenie, ze przez aksjomat regularnosci rozumiesz to co ja na ogol przez aksjomat ufundowania... Pozdrawiam MK |
| Marek Szyjewski
|
Posted: 11 Kwi 2000 14:46:54 [ciach] Zainteresowal mnie ten fragment. Czy moglbys dokladniej napisac co rozumiesz
przez: 1. Aksjomat regularnosci 2. Aksjomat ograniczenia 3. Hierarchie von Neumanna Czy aksjomaty te wystepuja w teorii GBN? Przyznam, ze nie jestem z nia specjalnie oswojony, zawsze spotykalem sie z ZF i pochodnymi (ZFC, ZF-, itp.) Bo mam wrazenie, ze przez aksjomat regularnosci rozumiesz to co ja na ogol przez aksjomat ufundowania... Pozdrawiam MK Wlasciwie podalem zrodlo: ksiazke Mendelsona. Z nazewnictwem jest problem - przy zalozeniu AC to wszystko jest jedno i to samo, wiec mozna sobie wybrac nazwe jak sie komu podoba (i wiem, ze tak sie robi). Rozroznienie jest istotne np. przy badaniu zaleznosci aksjomatow (czym zajmowal sie Mendelson). Wedlug Mendelsona aksjomat ograniczenia mowi, ze kazdy kazda niepusta klasa ma element, z ktorym jest rozlaczna, a aksjomat ufundowania mowi, ze nie ma nieskonczonego zstepujacego ciagu nalezen. Hierarchia von Neumanna to pozaskonczony ciag zbiorow, otrzymany ze zbioru pustego przez iterowanie zbioru potegowego na liczbach izolowanych i sumowanie na granicznych. Z powazaniem Marek Szyjewski My, samotnicy, powinnismy trzymac sie razem! |
| Jakub Narebski
|
Posted: 14 Kwi 2000 10:46:34 Jest jeszcze coś takiego jak wgląd, jak to nazywa Roger Penrose np. w
książce "Nowy umysł cesarza" (pewnie znacie tego Pana). Nie byłem na tamtej stronie, gdyż jestem tu nowy i dopiero co zacząłem czytać listę (o tym w odrębnym poście). Hmm.... nie ubliżając Penrosowi w "Nowym umyśle..." obok całkiem sensownych rzeczy jest też mnóstwo bełkotu. Tak sadzę na podstawie tych fragmentów które przeczytałem. Powiem Wam, że listy Pana Pinopy nie są tak całkiem od rzeczy, jak można by
sądzić. Wydaje mi się (przez wgląd %*), że cała sprawa zasadza się na tym, czy ma sens pojęcie zbioru pustego. Względnie - czy dychotomia: założenie, że istnieje zbiór pusty vs założenie, że nie istnieje zbiór pusty nie powoduje, że istnieją dwie różne teorie mnogości. Tak na zdrowy rozum: jeśli A jest zbiorem pustym to znaczy, że A nie istnieje. Ten zdrowy rozum nie wydaje mi się nieuzasadniony. Ale ponieważ napisałem, że to przez "wgląd" to nie podam dowodu ani jakiegoś szerszego uzasadnienia. To tylko tak pod rozwagę Państwa. Tak. Tyle że w aksjomatycznej teorii mnogości (chyba w kazdej, ale na pewno z aksjomatami ZF) istnienie zbioru pustego jest jednym z _aksjomatów_. Zresztą np. teoriomnogościowa definicja liczb naturalnych zaczyna się od zbioru pustego. 0 = 0, 1 = {0}, 2 = {1} u 1 = { {{0}}, {0} } itd. (o ile czegoś nie pokręciłem, ale chyba tak). Więc jak to bez zbioru pustego? Od czego zacząć? |
| . 1 . 2 . >> |