Cantor bladzi przy doborze par z elementow zbiorow nieskonczonych?

Matma / Cantor bladzi przy doborze par z elementow zbiorow nieskonczonych?

Autor	Wiadomość
Jakub Narebski	Posted: 11 Mar 2000 11:02:47 Miałem nie brać udziału w tej dyskusji, ale wtrące swoje trzy grosze - nie dla Pinopy bo i tak nie skorzysta ale dla innych. Relacja równoważności zdefiniowana w ten sposób: Zbiory A i B są równoważne wtedy i tylko wtedy gdy _istnieje_ takie odwzorowanie f:A - B, że f jest bijekcją, tzn. każdemu elementowi a in A odpowiada jeden i tylko jeden element f(a) in B, i dla każdych elementów a_1 i a_2 in A jeśli a_1 ot= a_2 to f(a_1) ot= f(a_2). Napisałem relacja równoważności bo w istocie relacja równoliczności jest relacją równoważnosci tzn. ma następujące miłe cechy. 1. Jest zwrotna, tzn. A jest równoliczne A. 2. Jest przechodnia, tzn. jeśli A jest równoliczne B i B jest równoliczne C to A jest równoliczne C 3. Jest symetryczna, tzn jeśli A jest równoliczne B to B jest równoliczne A. Dzięki temu możemy za pomocą tzw. klas abstrakcji wprowadzić pojecie mocy zbioru (podobne do liczby elementów, ale stosujące się także dla zbiorów nieskończonych). Jest ono zgodne z relacją zawierania, tj. jeśli A zawiera się w B to moc A jest <= mocy B. Poza tym równoliczność nie zatrudnia żadnych dodatkowych struktur takich jak uporządkowanie, topologia (potrzebne do zdefiniowania ciągłości) czy metryka (definicja odległości). W jaki sposób dowodzi się najczęściej że dwa zbiory A i B _są_ równoliczne? Konstruując przykład funkcji f:A - B która spełnia warunki definicji. (Jeśli W(a) to istnieje takie z że W(z) - prawo logiki matematycznej). Przykłady w poprzednich listach. W jaki sposób najczęsciej dowodzi się że dwa zbiory A i B _nie są_ równoliczne? Pokazując że żadna funkcja f:A - B nie może być bijekcją. Najczęściej za pomocą tzw. metody reductio ad absurdum. Tzn. pokazujemy że założenie że taka funkcja istnieje prowadzi do sprzeczności. Przykład: Zbiór liczb rzeczywistych z odcinka [0,1] nie jest równoliczny zbiorowi liczb naturalnych. Załóżmy że istnieje taka funkcja f:N - [0,1]. Zapiszmy wartości funkcji za pomocą rozwinięcia dziesiętnego w układzie dwójkowym (jeśli są dwa rozwinięcia to wybieramy to kończące się zerami). Zapiszmy kolejne liczby rzeczywiste (tj. f(0), f(1),... ) jedna pod drugą. f(0) = 0.a_01 a_02 a_03 a_04 ... f(1) = 0.a_11 a_12 a_13 a_14 ... f(3) = 0.a_21 a_22 a_23 a_24 ... Weźmy teraz liczbę powstałą w ten sposób, że jej pierwszy element rozwinięcia to będzie zanegowanie a_01 (tzn. 0 jeśli a_01 = 1, 1 jeśli a_01 = 0), drugi zanegowanie a_12 itd., tj 0.~a_01 ~a_12 ~a_23 ... Liczba ta różni się od każdej z liczb f(n) dla każdego n naturalnego przynajmniej w jednym miejscu. Zatem znaleźliśmy takie x z [0,1] które nie jest obrazem żadnej liczby naturalnej. Ale jest to sprzeczne z naszym założeniem, że f jest bijekcją. Więc [0,1] nie jest równoliczne N. Odcinek nie jest równoliczny (jest większej mocy) niż zbiór liczb naturalnych. P.S. Jeśli się gdzieś pomyliłem, to mam nadzieję, że jakiś matematyk mnie poprawi.
Tomasz Janisz	Posted: 11 Mar 2000 22:52:43 Na samym poczatku pare slow o tytule; dlaczego "Cantor bladzi przy doborze par z elementow zbiorow nieskonczonych?" Coz, w tej calej aferze nasuwa mi sie tylko mysl czeskiego pisarza, Karela Capka: "Krytykowac - to znaczy dowiesc autorowi, ze nie robi tego tak, jakbym ja to zrobil, gdybym potrafil." Tom
Marcin Kysiak	Posted: 12 Mar 2000 18:13:51 Napisałem relacja równoważności bo w istocie relacja równoliczności jest relacją równoważnosci tzn. ma następujące miłe cechy. 1. Jest zwrotna, tzn. A jest równoliczne A. 2. Jest przechodnia, tzn. jeśli A jest równoliczne B i B jest równoliczne C to A jest równoliczne C 3. Jest symetryczna, tzn jeśli A jest równoliczne B to B jest równoliczne A. [ciach] P.S. Jeśli się gdzieś pomyliłem, to mam nadzieję, że jakiś matematyk mnie poprawi. To moze szczegol, ale ja jestem na takie rzeczy uczulony: rownolicznosc nie jest relacja (relacja z definicji jest zbiorem). Ale spelnia podane warunki i _po_obcieciu_ do dowolnego zbioru (czyt. rodziny zbiorow) jest relacja. Pozdrawiam MK
Jakub Narebski	Posted: 12 Mar 2000 21:53:44 Napisałem relacja równoważności bo w istocie relacja równoliczności jest relacją równoważnosci tzn. ma następujące miłe cechy. 1. Jest zwrotna, tzn. A jest równoliczne A. 2. Jest przechodnia, tzn. jeśli A jest równoliczne B i B jest równoliczne C to A jest równoliczne C 3. Jest symetryczna, tzn jeśli A jest równoliczne B to B jest równoliczne A. [ciach] P.S. Jeśli się gdzieś pomyliłem, to mam nadzieję, że jakiś matematyk mnie poprawi. To moze szczegol, ale ja jestem na takie rzeczy uczulony: rownolicznosc nie jest relacja (relacja z definicji jest zbiorem). Ale spelnia podane warunki i _po_obcieciu_ do dowolnego zbioru (czyt. rodziny zbiorow) jest relacja. Dziękuję za poprawienie. Rzeczywiście, równoliczność dotyczy dowolnych zbiorów, a coś takiego jak zbiór wszystkich zbiorów nie istnieje. Właśnie, a czy nie da się zrobić tego jako relację, ale nie jako zbiór tylko jako _klasę_ zbiorów (poziom wyżej, coś jak logika I rzędu AFAIR)? P.S. FUT jest także na pl.sci.fizyka, bo niestety nie czytam pl.sci.matematyka. Dzieją się tam ciekawe (dla przyszłego fizyka) rzeczy?
Marcin Kysiak	Posted: 13 Mar 2000 17:36:35 Dziękuję za poprawienie. Rzeczywiście, równoliczność dotyczy dowolnych zbiorów, a coś takiego jak zbiór wszystkich zbiorów nie istnieje. Właśnie, a czy nie da się zrobić tego jako relację, ale nie jako zbiór tylko jako _klasę_ zbiorów (poziom wyżej, coś jak logika I rzędu AFAIR)? Nie wiem dokladnie co masz na mysli, ale sprobuje odpowiedziec (choc bedzie to dlugie): Istnieja aksjomatyki teorii mnogosci, w ktorych klasy sa formalnymi obiektami, ale ja nie mam specjalnego obycia w poslugowaniu sie nimi. Natomiast, jezeli pracujemy w ZFC, to poprzez klase najczesciej rozumie sie jej definicje (a wiec pewna formule). Czyli naprawde formalnie powinno sie pisac F(x) a nie x in F. Przyklady klas: V={x: x=x} - klasa wszystkich zbiorow (zdefniowana przez formule "x=x") On={x: x jest przechodni i dobrze uporzadkowany przez relacje: nalezenie obciete do x} - klasa liczb porzadkowych (formula nieco bardziej skomplikowana). Card={x: On(x) & x nie jest rownoliczny z zadnym swoim elementem} - klasa liczb kardynalnych. L={x: istnieje alfa in On t.ze x in L(alfa)} - uniwesrum konstruowalne. Nie twierdze, ze cos zdefniowane jako klasa nie moze byz zbiorem (Uwaga: klasa F jest zbiorem tzn. istnieje y t.ze dla kazdego x mamy: x in y <= F(x) ). Przyklad: {x: dla kazdego y nieprawda, ze y in x}. Zdefinowane jako klasa, a jest to po prostu singleton zbior pustego. Klasy, ktore nie sa zbiorami nazywa sie klasami wlasciwymi. Nikt nie twierdzi tez, ze definicja klasy musi byc formula o jednej zmiennej. Moga w niej byc parametry (np. F(x,omega): x rownoliczne z omega defniuje {x : F(x,omega)} - klase zbiorow przeliczalnych), ale moze byc tez tak, ze ta formula definiuje zwiazek dwoch obiektow. Np. formula: xin y, x zawarte w y itd. Wezmy taki przyklad (zeby bylo prosciej niz z relacja rownowaznosci, ale idea jest ta sama): Fornula F(x,y): y={x} w jakims sensie definiuje funkcje. Nie jest to naprawde funkcja f(x)={x}, bo klasa {<x,f(x)} jest wlasciwa. Natomiast przypomina to funkcje, bo mozemy w ZFC udowodnic nastepujace zdanie: () dla kazdego x istnieje dokladnie jeden y t.ze F(x,y) Dodatkowo jest tak przyjemnie, ze jezeli o jakiejs formule F wiemy, ze spelnia zdanie (), to na mocy aksjomatu zastepowania wystarczy, ze ograniczymy zakres zmiennej x do pewnego zbioru Z, a otrzymamy dobrze zdefniowana funkcje. Z "relacja" rownolicznosci jest podobnie: jest ona zdefiniowana jakas formula i potrafimy udowodnic (w pelnej ogolnosci, czyli dla wszystkich par/trojek zbiorow z V) trzy wlasnosci, ktore wymieniles w poprzednim poscie wyslowione przy uzyciu tejze formuly. Wiec w takim sensie jak powyzej "relacja" rownolicznosci _jest_ zdefniowana jako klasa - co powinno odpowiadac na Twoje pytanie. Jeszcze drobna dygresja: jezeli rozwazamy takie "klasy relacyjne" dwuargumentowe, to wiaze sie z tym pojecie klasy set-like (zbioropodobnej? zbiorolubnej? ;-)) ). Otoz F(x,y) jest set-like, jezeli dla kazdego y {x: F(x,y)} jest zbiorem. Podane wczesniej przyklady sa klasami set-like: x nalezy do y w oczywisty sposob, x zawarte w y - z aksjomatu potegi. Natomiast w tym jezyku problem z watku "Istnienie zbioru" z 02.03.2000 tlumaczy sie na fakt, ze rownolicznosc nie jest set-like. P.S. FUT jest także na pl.sci.fizyka, bo niestety nie czytam pl.sci.matematyka. Dzieją się tam ciekawe (dla przyszłego fizyka) rzeczy? Ooooopssss... To ja to wszystko mam wyslac na pl.sci.fizyka? To przepraszam kolegow fizykow za gruby off-topic :-)) A na pl.sci.matematyka chyba warto zajrzec, choc ja tez czytam dosc wybiorczo. Pozdrawiam MK


° Forum ° Rejestracja ° Szukaj °